مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يكمل المشاركون الخمسة والعشرون أنفسهم اختبار ذاكرة قبل الكافيين وبعده، والدرجات فئوية وطبيعية تقريبًا. أي اختبار مناسب؟

Aاختبار كاي تربيع
Bاختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)
Cاختبار مان–ويتني U
Dاختبار t للعينات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تشير «أزمة التكرار» في علم النفس إلى:

Aنقص المشاركين في التجارب
Bفشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة
Cإلزام المجلات قانونًا برفض جميع دراسات التكرار المقدَّمة إليها
Dنسخ الاستبيانات دون إذن

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 14, 46, 36, 17, 45, 39.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأقل من 38؟

μ = 50σ = 10x = 38

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,3

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 7p = 0,4k = 1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 10 منها عن 251,6 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10< 251.6 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 مفردة متوسطها 38 وانحرافها المعياري s = 19. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 16x̄ = 38s = 1990%t(15) = 1,753

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 13 قطعة، متوسط المحصول 29,5 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 8 قطعة، المتوسط 28,5 kg، الانحراف المعياري 10 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 29,5s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 28,5s₂ = 1099%t(19) = 2,861

E = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 119,1 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 5n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 49 قياسًا متوسطها 50,9. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 50,9σ = 5n = 4995%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 27Σy = 253Σx² = 139Σy² = 11007Σxy = 1213

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (22,5, 77). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(22,5, 77)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، طفيف».

مجموع الصف = 95مجموع العمود = 44N = 155

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · اختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار t المزدوج المتوسطات لدى المشاركين أنفسهم في شرطين، مستخدمًا الفروق داخل كل شخص.

الإجابة

B · اختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · فشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة

لماذا هذه هي الإجابة

وجدت مشاريع التكرار الكبيرة أن كثيرًا من التأثيرات أصغر أو غائبة، وهو ما يرتبط بتحيّز النشر وصغر العيّنات ومرونة التحليل. والتسجيل المسبق أحد الحلول.

الإجابة

B · فشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,68

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 243/7 = 34,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 11,29² + (−20,71)² + 11,29² + 1,286² + (−17,71)² + 10,29² + 4,286² = 1123

الانحراف المعياري

s = √(1123/6) = 13,68

الإجابة

s = 13,68

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1151

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

الإجابة

P = 0,1151

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 2,39

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 2·0,05 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,3

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,05 + 16·0,35 + 36·0,3 = 16,6

التباين

Var(X) = 16,6 − 3,3² = 5,71

σ = √5,71 = 2,39

الإجابة

σ = 2,39

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1306

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 7·0,4¹·0,6⁶ = 7·0,4·0,04666 = 0,1306

الإجابة

P = 0,1306

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8438

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (251,6 − 250)/1,581 = 1,01

الاحتمال

P = Φ(1,01) = 0,8438

الإجابة

P = 0,8438

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8849

توزيع الفرق

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

الإجابة

P = 0,8849

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 46,33

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 15, t = 1,753

هامش الخطأ

E = 1,753·19/√16 = 8,327

الفترة

38 ± 8,327 → [29,67, 46,33]

الإجابة

الحد الأعلى = 46,33

10.فترات الثقة

الإجابة: E = 8,384 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (12·3² + 7·10²)/19 = 42,53

s_p = 6,521

هامش الخطأ

E = 2,861·6,521·√(1/13 + 1/8) = 8,384

الإجابة

E = 8,384 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

إحصائية الاختبار

t = (119,1 − 120)/0,5 = −1,8

الإجابة

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 52,3

هامش الخطأ

E = 1,96·5/√49 = 1,4

حد الفترة

U = 50,9 + 1,4 = 52,3

الإجابة

U = 52,3

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9675

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1213 − 27·253/6 = 74,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 11007 − 253²/6 = 338,8

معامل الارتباط

r = 74,5/√(17,5·338,8) = 0,9675

الإجابة

r = 0,9675

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 2,167

المتوسطات

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 449/6 = 74,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 631,5

خط الانحدار

b = 631,5/157,5 = 4,01

a = 74,83 − 4,01·22,5 = −15,38

ŷ = −15,38 + 4,01·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −15,38 + 4,01·22,5 = 74,83

البُواقي

e = 77 − 74,83 = 2,167

الإجابة

e = 2,167

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 26,97

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 95·44/155 = 26,97

الإجابة

E = 26,97

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,937

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 12, 28

خط الإنتاج 2: 18, 42

خط الإنتاج 3: 30, 70

إحصاءة مربع كاي

χ² = (16 − 12)²/12 + (24 − 28)²/28 + (13 − 18)²/18 + (47 − 42)²/42 + (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70

χ² = 3,937

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,937 < 5,991

الإجابة

χ² = 3,937

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology