الموجات والبصريات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض
T = 2π·√(m/k)
البندول
T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي
ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع
vmax = A·ω, amax = A·ω²
الطاقة
E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة
v = fλ, T = 1/f
وتر
v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي
I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة
وتر أو أنبوب مفتوح fn = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق fn = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
معامل الانكسار
n = c/v, λ = λ0/n
قانون سنيل
n1sin θ1 = n2sin θ2
الزاوية الحرجة
sin θc = n2/n1
ليف ضوئي
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
العدسات والمرايا
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
شق مزدوج
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
المحزوز
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
الشق المفرد
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

  1. حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
  2. اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
  3. حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
  4. تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.النوابض والبندولاتمتوسطة
3,7 kgk = 210 N/mA = 20 cmx = 10 cm

كتلة مقدارها 3,7 kg على نابض k = 210 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 20 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 10 cm من موضع الاتزان.

m = 3,7 kgk = 210 N/mA = 20 cmx = 10 cm
v = m/s
2.النوابض والبندولاتصعبة
3 kgk = 150 N/mA = 9 cm

كتلة مقدارها 3 kg على نابض k = 150 N/m تُسحب 9 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها vmax.

m = 3 kgk = 150 N/mA = 9 cm
vmax = m/s
3.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة
FF1 cmdo​ = 30 cmf = −5 cm

جسم ارتفاعه 1 cm يقف على بعد 30 cm أمام عدسة مفرِّقة رقيقة بعدها البؤري 5 cm. جد ارتفاع الصورة hi (سالب للصورة المقلوبة).

ho = 1 cmdo = 30 cmf = −5 cm
hi = cm
4.الموجات والصوت والبصرياتصعبة
SO20 m/sf = 40 kHz

مستشعر ركن ساكن يرسل موجات فوق صوتية تردد 40 kHz نحو سيارة تقترب بسرعة 20 m/s. جد تردد f″ الصدى المستقبَل عائدًا إلى المستشعر (سرعة الصوت 343 m/s).

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3المحاليل

1.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 1,305 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(210/3,7) = 7,534 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 7,534·√(0,2² − 0,1²) = 1,305 m/s

الإجابة

v = 1,305 m/s
2.النوابض والبندولات

الإجابة: vmax = 0,6364 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(150/3) = 7,071 rad/s

أقصى سرعة

vmax = A·ω = 0,09·7,071 = 0,6364 m/s

الإجابة

vmax = 0,6364 m/s
3.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: hi = 0,1429 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θc = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/do + 1/di مع التكبير m = −di/do. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و di > 0 لصورة حقيقية، و di < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/30
di = −4,286 cm
FF30 cmf = −5 cm

التكبير والارتفاع

m = −(−4,286)/30 = 0,1429
hi = 0,1429·1 = 0,1429 cm

الإجابة

hi = 0,1429 cm
4.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f″ = 44954 Hz

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، fn = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، fn = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

التردد عند السيارة

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

تردد الصدى

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

الإجابة

f″ = 44954 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics