الموجات والبصريات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض
T = 2π·√(m/k)
البندول
T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي
ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع
vmax = A·ω, amax = A·ω²
الطاقة
E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة
v = fλ, T = 1/f
وتر
v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي
I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة
وتر أو أنبوب مفتوح fn = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق fn = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
معامل الانكسار
n = c/v, λ = λ0/n
قانون سنيل
n1sin θ1 = n2sin θ2
الزاوية الحرجة
sin θc = n2/n1
ليف ضوئي
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
العدسات والمرايا
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
شق مزدوج
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
المحزوز
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
الشق المفرد
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

  1. حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
  2. اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
  3. حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
  4. تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.النوابض والبندولاتمتوسطة
0,9 kgk = 440 N/mA = 12 cmx = 7 cm

كتلة مقدارها 0,9 kg على نابض k = 440 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 12 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 7 cm من موضع الاتزان.

m = 0,9 kgk = 440 N/mA = 12 cmx = 7 cm
v = m/s
2.النوابض والبندولاتصعبة
1,1 kgk = 410 N/mA = 10 cm

كتلة مقدارها 1,1 kg على نابض k = 410 N/m تُسحب 10 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها vmax.

m = 1,1 kgk = 410 N/mA = 10 cm
vmax = m/s
3.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة
FFdo​ = 6 cmf = −15 cm

يقف جسم على بعد 6 cm أمام عدسة مفرِّقة رقيقة بعدها البؤري 15 cm. جد التكبير m (سالب للصورة المقلوبة).

do = 6 cmf = −15 cm
m =
4.الموجات والصوت والبصرياتصعبة
λ = 589 nma = 0,08 mmL = 1 m

يمر ضوء طوله الموجي 589 nm عبر شق مفرد عرضه 0,08 mm. جد عرض w النهاية العظمى المضيئة المركزية على شاشة تبعد 1 m (بين الهدبين المظلمين الأولين على الجانبين).

λ = 589 nma = 0,08 mmL = 1 m
w = mm

3المحاليل

1.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 2,155 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(440/0,9) = 22,11 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 22,11·√(0,12² − 0,07²) = 2,155 m/s

الإجابة

v = 2,155 m/s
2.النوابض والبندولات

الإجابة: vmax = 1,931 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(410/1,1) = 19,31 rad/s

أقصى سرعة

vmax = A·ω = 0,1·19,31 = 1,931 m/s

الإجابة

vmax = 1,931 m/s
3.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: m = 0,7143

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θc = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/do + 1/di مع التكبير m = −di/do. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و di > 0 لصورة حقيقية، و di < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−15) − 1/6
di = −4,286 cm
FF6 cmf = −15 cm

التكبير

m = −di/do = −(−4,286)/6 = 0,7143

الإجابة

m = 0,7143
4.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: w = 14,72 mm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

الهدب المظلم الأول

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·1/(0,08 × 10⁻³) = 7,362 mm

عرض النهاية العظمى المركزية

w = 2y₁ = 14,72 mm

الإجابة

w = 14,72 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics