النوابض والبندولات
- كتلة على نابض
- T = 2π·√(m/k)
- البندول
- T = 2π·√(L/g)
- التردد الزاوي
- ω = √(k/m) = 2π/T
- أقصى سرعة وأقصى تسارع
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- الطاقة
- E = ½·k·A²
الموجات والبصريات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الموجات والصوت والبصريات
- سرعة الموجة
- v = fλ, T = 1/f
- وتر
- v = √(T/μ), μ = m/L
- مستوى الصوت
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- مصدر نقطي
- I = P/(4πr²)
- الموجات الموقوفة
- وتر أو أنبوب مفتوح fn = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق fn = n·v/(4L)، n فردي
- أثر دوبلر
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- معامل الانكسار
- n = c/v, λ = λ0/n
- قانون سنيل
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- الزاوية الحرجة
- sin θc = n2/n1
- ليف ضوئي
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- العدسات والمرايا
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- شق مزدوج
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- المحزوز
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- الشق المفرد
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
الطريقة
- حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
- اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
- حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
- تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.
2مسائل تدريبية
1.النوابض والبندولاتمتوسطة
كتلة مقدارها 3,3 kg على نابض k = 70 N/m تُسحب 4 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,5 s (مع الإشارة).
m = 3,3 kgk = 70 N/mA = 4 cmt = 0,5 s
v = m/s
2.النوابض والبندولاتصعبة
جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,5 s وسعة 14 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 3,5 cm؟
T = 1,5 sA = 14 cmx = 3,5 cm
t = s
3.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة
جسم ارتفاعه 1,5 cm يقف على بعد 25 cm أمام عدسة مفرِّقة رقيقة بعدها البؤري 5 cm. جد ارتفاع الصورة hi (سالب للصورة المقلوبة).
ho = 1,5 cmdo = 25 cmf = −5 cm
hi = cm
4.الموجات والصوت والبصرياتصعبة
مستشعر ركن ساكن يرسل موجات فوق صوتية تردد 40 kHz نحو سيارة تبتعد بسرعة 5 m/s. جد تردد f″ الصدى المستقبَل عائدًا إلى المستشعر (سرعة الصوت 343 m/s).
f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3المحاليل
1.النوابض والبندولات
الإجابة: v = −0,137 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
التردد الزاوي
ω = √(70/3,3) = 4,606 rad/s
ω·t = 4,606·0,5 = 2,303 rad
السرعة المتجهة
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,04·4,606·sin(2,303) = −0,137 m/s
الإجابة
v = −0,137 m/s
2.النوابض والبندولات
الإجابة: t = 0,06032 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
التردد الزاوي
ω = 2π/T = 2π/1,5 = 4,189 rad/s
حلّ لإيجاد الزمن
0,25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,25) = 0,2527 rad
t = 0,2527/4,189 = 0,06032 s
الإجابة
t = 0,06032 s
3.الموجات والصوت والبصريات
الإجابة: hi = 0,25 cm
البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θc = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/do + 1/di مع التكبير m = −di/do. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و di > 0 لصورة حقيقية، و di < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.
معادلة العدسة الرقيقة
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/25
di = −4,167 cm
التكبير والارتفاع
m = −(−4,167)/25 = 0,1667
hi = 0,1667·1,5 = 0,25 cm
الإجابة
hi = 0,25 cm
4.الموجات والصوت والبصريات
الإجابة: f″ = 38851 Hz
الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، fn = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، fn = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.
التردد عند السيارة
f′ = 40000·(343 − 5)/343 = 39417 Hz
تردد الصدى
f″ = f′·343/(343 + 5) = 38851 Hz
الإجابة
f″ = 38851 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics