Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €500, 17 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 10 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.
Ein Darlehen von €15 000 wird über 5 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 3,6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?
Eine Maschine kostet heute €80 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €17 500 und kann danach für €20 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €10 000, €11 500, €9 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Du kaufst eine Anleihe mit 7 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 7%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 3% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 2,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 4 Jahren fällig und kostet €910. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Sein WACC beträgt 10,93%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 28%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re.
Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,6. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,6. Der Steuersatz beträgt 30%, der risikolose Zinssatz 2% und die Marktrisikoprämie 6,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re bei der neuen Kapitalstruktur.
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 13, 53, 41, 42, 19, 31, 10.
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt über 180?
Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 5 Personen aus einer Gruppe von 10 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
11 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,4 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?
Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,9850 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.
Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 75 % von ihnen liegen (das 75. Perzentil).
Ein 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 36 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 6,3. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 90-%-Intervalls aus denselben Daten?
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 6. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 0,5 hat?
Eine Stichprobe von 81 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 50,76 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 50.
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 5 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 22. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (8, 87) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
Antwort: PV = 4011 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: I = 1413 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: NPV = 3484 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Antwort: IRR = 11,67 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: HPR = 5,496 %
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Antwort: YTM = 5,572 %
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Antwort: re = 14,01 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: re = 7,538 %
Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), wobei βU das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.
Antwort: s = 16,35
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: P = 0,1587
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: N = 252
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Antwort: P = 0,03023
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Antwort: z = −2,17
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Finde 0,0150 in der Tabelle und lies z ab.
Antwort: x = 110,1 Punkte
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
Antwort: E₂ = 4,023
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Antwort: n = 390
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
Antwort: t = 1,71
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
|t| < 1.99, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
Antwort: n = 120
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.
Antwort: r = 0,9891
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: e = 4,295
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Der Punkt liegt über der Geraden.
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