Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €1 500, 17 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 3 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.
Ein Darlehen von €12 000 wird über 6 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.
Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €20 000, €14 000, €12 000, €16 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €21 000, €35 500, €32 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 11 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 9% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% und wird in 4 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 4%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.
Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 1. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.
Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,7. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,25. Der Steuersatz beträgt 28%, der risikolose Zinssatz 1,5% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re bei der neuen Kapitalstruktur.
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 24, 25, 41, 26, 31, 34, 21.
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 5. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 62,5.
Ein fairer Würfel wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?
X hat die gezeigte Verteilung, und Y = 3X + 10. Bestimme die Standardabweichung σY von Y.
Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Welcher Anteil liegt zwischen 454 und 550 h? Gib P als Dezimalzahl an.
Die Körpergrößen X von Männern und Y von Frauen in einer Gruppe sind unabhängig und normalverteilt: X hat den Mittelwert 180 cm und die Standardabweichung 10 cm, Y hat den Mittelwert 170 cm und die Standardabweichung 12 cm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X größer als Y ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 30 Handys, Mittelwert 58,5 h, bekannte Standardabweichung 18 h. Modell 2: 30 Handys, Mittelwert 60,5 h, bekannte Standardabweichung 10 h. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Die Durchmesser von 10 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 11,4 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 9 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 2,7 und 2,5 % über 19,023.
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 80 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 15. Eine Zufallsstichprobe von 100 Beobachtungen hat den Mittelwert 81,47. Teste H₀: μ = 80 gegen H₁: μ > 80. Bestimme den p-Wert p.
In einer Studie erholen sich 20 von 80 Patienten unter Behandlung A und 37 von 120 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (25, 66) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
Antwort: PV = 19749 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: A = 192,1 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.
Antwort: NPV = 10275 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.
Antwort: IRR = 32,26 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: P = 931,1 €
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.
Antwort: D = 3,825 Jahre
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Antwort: WACC = 5,185 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: re = 6,456 %
Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), wobei βU das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.
Antwort: s = 6,914
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: z = −1,5
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: P = 0,5981
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Antwort: σY = 31,86
Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σY = |a|·σX; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.
Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = 3·28,5 + 10 = 95,5.
Antwort: P = 0,7693
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
Antwort: P = 0,7389
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: untere Grenze = −8,184 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Das Intervall enthält die 0, die Daten zeigen also keinen signifikanten Unterschied.
Antwort: σ = 20,81 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
95-%-Intervall für σ: [7,841, 20,81] µm.
Antwort: p = 0,1635
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.
Antwort: z = −0,8953
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
Antwort: r² = 0,9214
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Etwa 92,14 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.
Antwort: e = −4,005
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Der Punkt liegt unter der Geraden.
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