Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Du brauchst €40 000 in 7 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.
Ein Darlehen von €12 000 wird über 3 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.
Eine Maschine kostet heute €60 000. Sie erwirtschaftet 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres €10 000 und kann danach für €15 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €14 500, €12 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 6 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 9% für €686 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.
Eine Anleihe notiert bei €930 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 3,4 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 75 Basispunkte sinkt.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €6 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 7% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.
Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,5 ein Beta von 1,1. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,25 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 28%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 4,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re nach der Änderung.
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 45, 53, 32, 12, 55.
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 20. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 182.
Ein Beutel enthält 8 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?
Ein Test hat 7 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,7 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 1 richtige Antworten?
X ist normalverteilt mit dem Mittelwert 120 mm und der Standardabweichung 0,3 mm; Y ist unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 80 mm und der Standardabweichung 0,4 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X + Y größer als 199,6 mm ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 85 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.
Der Blutdruck von 7 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 7,2 und die Standardabweichung 6,6. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 19. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 4 hat?
Eine Stichprobe von 81 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 118,4 und eine Stichproben-Standardabweichung von 10. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 1,5 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 13. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (6, 58) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
Antwort: PV = 28604 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: A = 371,6 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.
Antwort: NPV = −252,3 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Antwort: IRR = 23,22 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: c = 2 %
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Antwort: P = 953 €
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Antwort: WACC = 8,597 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: re = 10,92 %
Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), wobei βU das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.
Antwort: s = 17,78
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: z = 0,6
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: P = 0,2667
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Antwort: P = 0,003572
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Antwort: P = 0,7881
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: x = 84,4 Punkte
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Antwort: obere Grenze = 12,05 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Antwort: n = 87
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
Antwort: t = −1,44
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
|t| < 1.99, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
Antwort: n = 754
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.
Antwort: r = 0,9798
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: e = −5,35
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Der Punkt liegt unter der Geraden.
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