Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Eine Kreditkarte berechnet einen nominalen Zinssatz von 16 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Bestimme den effektiven Jahreszins EAR in Prozent.
Ein Darlehen von €200 000 wird über 25 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.
Ein Projekt kostet heute €500 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €33 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 4 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €17 000, €15 500, €16 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% und wird in 11 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 2,5% auf 4,5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?
Eine Anleihe notiert bei €980 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 3,7 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 100 Basispunkte steigt.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €12 000 000 und Eigenkapitalkosten von 14%. Sein Fremdkapital besteht aus 2 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 4%, 10 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 085 notieren. Der Steuersatz beträgt 20%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 50, 28, 30, 13, 49, 21.
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 88?
Bestimme für die gezeigte Verteilung die Standardabweichung σ von X.
X hat die gezeigte Verteilung, und Y = 0,5X + 1. Bestimme die Standardabweichung σY von Y.
Gegeben sind Zementsäcke; ihre Massen sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 kg und der Standardabweichung 0,5 kg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass die Gesamtmasse von 5 davon 126,7 kg übersteigt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Bestimme den Wert x, unter dem 95 % von ihnen liegen (das 95. Perzentil).
Eine Stichprobe von 9 Elementen hat den Mittelwert 49,5 und die Standardabweichung s = 6. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 12. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 5 hat?
Eine Stichprobe von 16 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 201,2 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 200.
Eine Stichprobe von 81 Messungen hat den Mittelwert 499,2. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 4. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (18,5, 69) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
Antwort: EAR = 16,99 %
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der effektive Jahreszins liegt immer über dem Nominalzins, wenn die Zinsen mehr als einmal im Jahr gutgeschrieben werden.
Antwort: A = 1289 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.
Antwort: NPV = 50000 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.
Antwort: IRR = 42,8 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: ΔP = −214,9 €
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Antwort: P = 945,1 €
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Antwort: WACC = 5,225 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: WACC = 12,22 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: s = 14,93
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: P = 0,9332
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Antwort: σ = 1,062
Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σY = |a|·σX; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.
Antwort: σY = 1,145
Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σY = |a|·σX; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.
Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = 0,5·3,4 + 1 = 2,7.
Antwort: P = 0,06426
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: x = 258,2 g
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
Antwort: E = 6,71
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Antwort: n = 39
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
Antwort: t = 1,2
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
|t| < 2.131, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
Antwort: L = 498,3
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Antwort: r = 0,9892
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: e = 2,19
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Der Punkt liegt über der Geraden.
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