Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Vergleiche braucht die binäre Suche im Worst Case ungefähr bei einem sortierten Array mit 1,000,000 Elementen?

  1. AEtwa 20
  2. BEtwa 100
  3. CEtwa 1,000
  4. DEtwa 500,000
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie hoch sind die amortisierten Kosten für das Inkrementieren eines Binärzählers, wenn ein einzelnes Inkrement viele Bits umschalten kann?

  1. AO(n log n) pro Inkrement
  2. BO(log n) pro Inkrement
  3. CO(n) pro Inkrement
  4. DO(1) pro Inkrement
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzliste für einen Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft hält jeden B-Baum perfekt balanciert?

  1. ADie Schlüssel werden nur in der Wurzel gespeichert
  2. BJeder Knoten speichert einen Schlüssel
  3. CJeder Knoten hat genau zwei Kinder
  4. DAlle Blätter liegen in derselben Tiefe
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
41815151019179ABCDEFG

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante BC
  3. 3Kante BD
  4. 4Kante CE
  5. 5Kante DE
  6. 6Kante EF
  7. 7Kante GC
  8. 8Kante GD
  9. 9Kante GE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Etwa 20

Warum das die Antwort ist

220 ≈ 1,048,576, also bleibt nach etwa 20 Halbierungen nur ein Element übrig.

Antwort

A · Etwa 20
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(1) pro Inkrement

Warum das die Antwort ist

Über n Inkremente schaltet Bit i etwa n / 2ⁱ-mal um, also sind es insgesamt weniger als 2n Umschaltungen, im Durchschnitt O(1) pro Inkrement.

Antwort

D · O(1) pro Inkrement
3.Datenstrukturen

Antwort: D · O(V + E)

Warum das die Antwort ist

Jeder Knoten hat eine Liste, und jede Kante erscheint einmal (gerichtet) oder zweimal (ungerichtet), das ergibt O(V + E).

Antwort

D · O(V + E)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe

Warum das die Antwort ist

Volle Knoten teilen sich nach oben, und der Baum wird nur höher, wenn sich die Wurzel teilt, daher bleiben alle Blätter immer auf derselben Ebene.

Antwort

D · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. BD (1)
2. AB (4)
3. CE (5)
4. GE (9)
5. EF (10)
6. DE (15)

Kantennummer 3

CE

Antwort

Kante CE

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