Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

  1. ABellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
  2. BDijkstra-Algorithmus
  3. CTiefensuche (DFS)
  4. DKruskal-Algorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Bei welcher Variante des Rucksackproblems liefert die Greedy-Regel „Gegenstände nach Wert pro Gewicht nehmen" immer eine optimale Lösung?

  1. ABei keiner der beiden Varianten
  2. BBeim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
  3. CBeim 0/1-Rucksackproblem, bei dem Gegenstände immer ganz genommen werden müssen
  4. DBei beiden Varianten
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird ein neues Element in einen binären Heap eingefügt?

  1. AAns Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
  2. BIn die Wurzel setzen und nach unten wandern lassen
  3. CDen ganzen Heap von Grund auf neu aufbauen
  4. DAn der sortierten Position einfügen, indem alle größeren Elemente um eine Stelle nach rechts verschoben werden
4.DatenstrukturenSchwer

Wie kannst du mit O(1) zusätzlichem Speicher erkennen, ob eine einfach verkettete Liste einen Zyklus enthält?

  1. ADie Knoten zählen, bis die Zahl das Längenfeld der Liste übersteigt
  2. BEinen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
  3. CDie Liste sortieren und nach Duplikaten suchen
  4. DJeden besuchten Knoten in einem Hash-Set speichern
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 15 Knoten und 16 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 15|E| = 16
k =
6.GraphentheorieSchwer
87121559115ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

B · Dijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen

Warum das die Antwort ist

Dürfen Gegenstände geteilt werden, ist das beste Verhältnis zuerst optimal; beim 0/1-Rucksack kann ein Gegenstand mit hohem Verhältnis eine bessere Kombination blockieren, sodass dynamische Programmierung nötig ist.

Antwort

B · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt

Warum das die Antwort ist

Das Hinzufügen am Ende hält den Baum vollständig; das Vertauschen mit dem Elternknoten stellt die Ordnung in O(log n) Schritten wieder her.

Antwort

A · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

Warum das die Antwort ist

Bei Floyds Algorithmus holt der schnelle Zeiger den langsamen irgendwann ein, wenn es einen Zyklus gibt; andernfalls erreicht der schnelle Zeiger null.

Antwort

B · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

15 − 1 = 14

Zu entfernende Kanten

k = 16 − 14 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 13

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 8, C: 7
C (7): E: 12
B (8): D: 23
E (12): F: 13
F (13): D: 22
D (22)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 13

Antwort

d(F) = 13

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