Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ist es richtig zu sagen, dass ein O(n²)-Algorithmus auch O(n³) ist?

  1. ANein, denn n³ ist für große n kleiner als n²
  2. BNein, denn Groß-O muss stets die genaue Wachstumsrate der Funktion angeben
  3. CJa, aber nur wenn n kleiner als 100 ist
  4. DJa, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das 0/1-Rucksackproblem benötigt mit dynamischer Programmierung O(nW) Zeit. Warum nennt man das pseudopolynomiell?

  1. AWeil n immer klein ist
  2. BWeil er nur für W = 0 funktioniert
  3. CWeil der Algorithmus randomisiert ist und seine Laufzeit je nach Eingabe schwankt
  4. DW ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird in einer zirkulären Queue, die in einem Array der Kapazität n gespeichert ist, die nächste Position nach Index i berechnet?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. Di + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  2. BEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  3. CEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  4. DEin sortiertes Array aller n Werte
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 14 Knoten und 21 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.GraphentheorieSchwer
9151111661210ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³

Warum das die Antwort ist

Groß-O ist eine obere Schranke, also ist die Aussage wahr, aber nicht scharf; Θ(n²) gibt die genaue Wachstumsrate an.

Antwort

D · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird

Warum das die Antwort ist

Die Laufzeit ist polynomiell im Wert von W, aber exponentiell in dessen Länge (log W Bits); das 0/1-Rucksackproblem ist NP-vollständig.

Antwort

D · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.Datenstrukturen

Antwort: A · (i + 1) mod n

Warum das die Antwort ist

Die Modulo-Operation lässt Index n − 1 wieder auf 0 umlaufen, sodass das Array ohne Verschieben von Elementen wiederverwendet wird.

Antwort

A · (i + 1) mod n
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

A · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: k = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

14 − 1 = 13

Zu entfernende Kanten

k = 21 − 13 = 8

Antwort

k = 8
6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 9, C: 15
2. B (9): D: 20, E: 19
3. C (15)
4. E (19): F: 31
5. D (20): F: 26
6. F (26)

Runde 5

D

Antwort

D

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