Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der Bellman-Ford-Algorithmus auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V × E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was hat der Satz von Cook und Levin gezeigt?

  1. AP ist ungleich NP
  2. BDas Halteproblem ist unentscheidbar
  3. CJedes NP-Problem kann in exponentieller Zeit gelöst werden
  4. DDas Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.DatenstrukturenMittel

Was gilt für die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen?

  1. ASie ist immer eine obere Dreiecksmatrix
  2. BSie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
  3. CIhre Hauptdiagonale enthält immer Einsen
  4. DJede Zeile hat genau eine 1
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. APrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
  2. BDie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  3. CDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  4. DDie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 7 Knoten und 8 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 7|E| = 8
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 3 beginnen und enden bei D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(V × E)

Warum das die Antwort ist

Jede der V − 1 Runden relaxiert alle E Kanten, das ergibt O(VE); dafür kann er mit negativen Kantengewichten umgehen.

Antwort

D · O(V × E)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig

Warum das die Antwort ist

Cook und Levin zeigten unabhängig voneinander, dass sich jedes Problem in NP in polynomieller Zeit auf SAT reduzieren lässt; SAT war damit das erste bekannte NP-vollständige Problem.

Antwort

D · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale

Warum das die Antwort ist

In einem ungerichteten Graphen bedeutet die Kante {u, v}, dass sowohl M[u][v] als auch M[v][u] gesetzt sind, daher ist die Matrix gleich ihrer Transponierten.

Antwort

B · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

A · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

7 − 1 = 6

Zu entfernende Kanten

k = 8 − 6 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)DD = 0·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Antwort

N = 2

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