Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Multiplikation zweier n × n-Matrizen mit der üblichen dreifachen Schleife?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie verhalten sich n! und 2ⁿ für große n zueinander?

  1. An! wächst schneller als 2ⁿ
  2. BSie wachsen gleich schnell
  3. C2ⁿ wächst schneller als n!
  4. Dn! ist O(n²)
3.DatenstrukturenMittel

Wie funktioniert extract-min in einem binären Min-Heap?

  1. ADie Wurzel entfernen und alle Elemente um eine Stelle nach links verschieben
  2. BDas letzte Element des Arrays entfernen
  3. CAlle Blätter nach dem neuen Minimum durchsuchen
  4. DDas letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.DatenstrukturenSchwer

Warum werden B-Bäume in Datenbanken und Dateisystemen verwendet?

  1. ASie benötigen weniger Speicher als jedes Array, sodass der gesamte Index immer in den Hauptspeicher passt
  2. BSie speichern Daten unsortiert
  3. CIhr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
  4. DSie benötigen keine Rebalancierung
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
128186720131715112ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n³)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n² Einträge, und jeder braucht n Multiplikationen, das ergibt n³ Operationen.

Antwort

B · O(n³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · n! wächst schneller als 2ⁿ

Warum das die Antwort ist

Für n ≥ 4 übersteigt n! den Wert 2ⁿ, und das Verhältnis wächst unbeschränkt, weil jeder weitere Faktor von n! größer als 2 ist.

Antwort

A · n! wächst schneller als 2ⁿ
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen

Warum das die Antwort ist

Das letzte Element füllt die Lücke in der Wurzel und wird mit seinem kleineren Kind vertauscht, bis die Heap-Eigenschaft gilt; das kostet O(log n).

Antwort

D · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe

Warum das die Antwort ist

B-Bäume speichern viele Schlüssel pro Knoten, daher ist die Höhe gering und pro Suche sind nur wenige Blockzugriffe nötig; B+-Bäume verketten zusätzlich die Blätter für Bereichsabfragen.

Antwort

C · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: W = 47

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GD (2): nehmen
BD (6): nehmen
CE (7): nehmen
AC (8): nehmen
GC (11): nehmen
AB (12): überspringen, schließt einen Kreis
DF (13): nehmen

Gesamtgewicht

W = 2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 13 = 47

Antwort

W = 47

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