Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was berechnet der Floyd-Warshall-Algorithmus, und wie schnell?

  1. AEine topologische Sortierung in O(V²)
  2. BKürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
  3. CEinen minimalen Spannbaum in O(E log V)
  4. DKürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen in O(V + E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  2. BSchleifen vermieden werden sollten
  3. CJedes Programm irgendwann anhält
  4. DManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
3.DatenstrukturenMittel

Bei welchem Verfahren zur Kollisionsauflösung werden kollidierende Schlüssel in einer Liste im selben Bucket gespeichert?

  1. ALineares Sondieren (Linear Probing)
  2. BQuadratisches Sondieren (Quadratic Probing)
  3. CDoppeltes Hashing (Double Hashing)
  4. DVerkettung (Separate Chaining)
4.DatenstrukturenSchwer

Wie kannst du mit O(1) zusätzlichem Speicher erkennen, ob eine einfach verkettete Liste einen Zyklus enthält?

  1. AJeden besuchten Knoten in einem Hash-Set speichern
  2. BDie Liste sortieren und nach Duplikaten suchen
  3. CEinen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
  4. DDie Knoten zählen, bis die Zahl das Längenfeld der Liste übersteigt
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 9 Knoten und 16 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 9|E| = 16
k =
6.GraphentheorieSchwer
7691451481161214ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)

Warum das die Antwort ist

Floyd-Warshall ist ein Algorithmus der dynamischen Programmierung, der nacheinander jeden Knoten als Zwischenknoten zulässt und O(V³) Zeit braucht.

Antwort

B · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Verkettung (Separate Chaining)

Warum das die Antwort ist

Beim Chaining gibt es pro Bucket eine verkettete Liste (oder eine andere Struktur); offene Adressierung sucht einen anderen freien Platz in der Tabelle selbst.

Antwort

D · Verkettung (Separate Chaining)
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

Warum das die Antwort ist

Bei Floyds Algorithmus holt der schnelle Zeiger den langsamen irgendwann ein, wenn es einen Zyklus gibt; andernfalls erreicht der schnelle Zeiger null.

Antwort

C · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

9 − 1 = 8

Zu entfernende Kanten

k = 16 − 8 = 8

Antwort

k = 8
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 29

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 7
C (7): B: 13, E: 21, G: 13
B (13): D: 22
G (13)
E (21): F: 29
D (22)
F (29)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 29

Antwort

d(F) = 29

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