Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  2. BSchleifen vermieden werden sollten
  3. CJedes Programm irgendwann anhält
  4. DManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzliste für einen Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  2. BEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  3. CEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  4. DEin sortiertes Array aller n Werte
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Die innere Schleife läuft für jede der n äußeren Iterationen etwa log₂ n-mal, das ergibt O(n log n).

Antwort

B · O(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(V + E)

Warum das die Antwort ist

Jeder Knoten hat eine Liste, und jede Kante erscheint einmal (gerichtet) oder zweimal (ungerichtet), das ergibt O(V + E).

Antwort

A · O(V + E)
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

C · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

C, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Antwort

N = 2

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