Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AEine einzige Schleife
  2. BNur zufällige Eingaben
  3. CÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  4. DÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Worin unterscheidet sich ein unentscheidbares Problem von einem praktisch unlösbaren (intractable)?

  1. AEin unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
  2. BUnentscheidbare Probleme liegen in NP, praktisch unlösbare in P
  3. CPraktisch unlösbare Probleme können von keinem Algorithmus gelöst werden, unentscheidbare brauchen nur exponentielle Zeit
  4. DBeides bedeutet, dass es für das Problem überhaupt keinen Algorithmus gibt
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. AEine Hashtabelle der Funktionen
  2. BDen Aufrufstack (Call Stack)
  3. CEinen binären Suchbaum der Frames
  4. DDie Heap-Speicher-Queue
4.DatenstrukturenSchwer

Wie verbessert ein Radix-Baum (komprimierter Trie) einen einfachen Trie?

  1. AEr fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
  2. BEr behält nur den ersten Buchstaben jedes Worts
  3. CEr sortiert die Kinder jedes Knotens nach Häufigkeit
  4. DEr speichert jedes Wort in einer Hashtabelle an der Wurzel statt in einzelnen Knoten
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
3128677473ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(C) des kürzesten Weges von A nach C im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: C
d(C) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist

Warum das die Antwort ist

Für das Halteproblem gibt es überhaupt keinen Algorithmus; ein NP-schweres Problem wie das TSP lässt sich per Brute Force lösen, nur nicht in bekannter polynomieller Zeit.

Antwort

A · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

B · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen

Warum das die Antwort ist

Das Zusammenfassen unverzweigter Pfade verringert die Anzahl der Knoten und den Speicherbedarf, während die Präfixsuche erhalten bleibt.

Antwort

A · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

A, D → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(C) = 11

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 3, C: 12
B (3): C: 11, D: 9, E: 6
E (6): F: 13
D (9)
C (11)
F (13)

Kürzester Weg

A → B → C
d(C) = 11

Antwort

d(C) = 11

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