Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ist es richtig zu sagen, dass ein O(n²)-Algorithmus auch O(n³) ist?

  1. ANein, denn Groß-O muss stets die genaue Wachstumsrate der Funktion angeben
  2. BJa, aber nur wenn n kleiner als 100 ist
  3. CNein, denn n³ ist für große n kleiner als n²
  4. DJa, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. ADas Halteproblem würde entscheidbar
  2. BNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  3. CAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  4. DJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.DatenstrukturenMittel

Du hast eine Referenz auf einen Knoten in der Mitte einer Liste. In welcher Liste kannst du ihn in O(1) entfernen?

  1. AIn einer einfach verketteten Liste
  2. BIn einem sortierten Array
  3. CIn einer doppelt verketteten Liste
  4. DIn einem dynamischen Array
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft hält jeden B-Baum perfekt balanciert?

  1. ADie Schlüssel werden nur in der Wurzel gespeichert
  2. BJeder Knoten hat genau zwei Kinder
  3. CAlle Blätter liegen in derselben Tiefe
  4. DJeder Knoten speichert einen Schlüssel
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
2010173742ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten A. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt.

Start: Ak = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³

Warum das die Antwort ist

Groß-O ist eine obere Schranke, also ist die Aussage wahr, aber nicht scharf; Θ(n²) gibt die genaue Wachstumsrate an.

Antwort

D · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: C · In einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Ein doppelt verketteter Knoten kennt seinen Vorgänger, daher kannst du prev und next direkt neu verbinden; eine einfach verkettete Liste muss den Vorgänger erst suchen.

Antwort

C · In einer doppelt verketteten Liste
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe

Warum das die Antwort ist

Volle Knoten teilen sich nach oben, und der Baum wird nur höher, wenn sich die Wurzel teilt, daher bleiben alle Blätter immer auf derselben Ebene.

Antwort

C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: Kante BE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. AC (10)
2. CE (7)
3. BE (2)
4. BD (3)

Kantennummer 3

BE

Antwort

Kante BE

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