Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viel Stack-Speicher braucht eine einfache rekursive Fakultätsfunktion fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Kürzeste einfache Wege lassen sich in polynomieller Zeit finden. Was ist über das Finden des längsten einfachen Weges zwischen zwei Knoten in einem allgemeinen Graphen bekannt?

  1. AEs ist unentscheidbar
  2. BEs ist NP-schwer
  3. CEs ist immer in O(V + E) lösbar
  4. DEs lässt sich mit dem Dijkstra-Algorithmus und negierten Gewichten lösen
3.DatenstrukturenMittel

Wie funktioniert extract-min in einem binären Min-Heap?

  1. ADie Wurzel entfernen und alle Elemente um eine Stelle nach links verschieben
  2. BDas letzte Element des Arrays entfernen
  3. CAlle Blätter nach dem neuen Minimum durchsuchen
  4. DDas letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  2. BEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  3. CEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  4. DEin sortiertes Array aller n Werte
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
681721228ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Die Rekursion ist n Aufrufe tief, bevor einer zurückkehrt, und jeder Aufruf braucht einen Stackframe, also beträgt der Speicherbedarf O(n).

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Es ist NP-schwer

Warum das die Antwort ist

Ein längster einfacher Weg der Länge V − 1 ist ein Hamiltonpfad, ein NP-vollständiges Problem; auf gerichteten azyklischen Graphen ist es dagegen in linearer Zeit lösbar.

Antwort

B · Es ist NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen

Warum das die Antwort ist

Das letzte Element füllt die Lücke in der Wurzel und wird mit seinem kleineren Kind vertauscht, bis die Heap-Eigenschaft gilt; das kostet O(log n).

Antwort

D · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

B · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

A, B, C, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 15

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 6, C: 8
B (6): C: 7, D: 13, E: 14
C (7): E: 9
E (9)
D (13): F: 15
F (15)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 15

Antwort

d(F) = 15

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