Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Aussage über eine rekursive Funktion ohne erreichbaren Basisfall ist richtig?

  1. ASie gibt automatisch 0 zurück
  2. BSie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
  3. CSie läuft in O(1) Zeit
  4. DDer Compiler wandelt sie immer in eine Schleife um, die sicher endet
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum kann der Dijkstra-Algorithmus falsche Ergebnisse liefern, wenn einige Kantengewichte negativ sind?

  1. AEr funktioniert nur auf ungerichteten Graphen
  2. BEr gerät bei jeder negativen Kante in eine Endlosschleife
  3. CEin Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
  4. DNegative Zahlen können nicht in einer Prioritätswarteschlange gespeichert werden
3.DatenstrukturenMittel

Welche Balancebedingung hält ein AVL-Baum an jedem Knoten ein?

  1. AAlle Blätter liegen in genau derselben Tiefe
  2. BJeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt
  3. CBeide Teilbäume jedes Knotens enthalten genau gleich viele Knoten
  4. DDie Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
  2. BPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
  3. CDie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  4. DDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
126712112223ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(G) des kürzesten Weges von A nach G im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: G
d(G) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

Warum das die Antwort ist

Ohne Basisfall endet die Rekursion nie; in der Praxis geht der Speicher für die Stackframes aus, und das Programm stürzt ab.

Antwort

B · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben

Warum das die Antwort ist

Der Greedy-Schritt beruht auf nichtnegativen Gewichten, damit entnommene Distanzen endgültig sind; bei möglicherweise negativen Gewichten verwendet man Bellman-Ford.

Antwort

C · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

Warum das die Antwort ist

Der Balancefaktor (Höhe links − Höhe rechts) muss −1, 0 oder 1 sein; Rotationen stellen ihn nach Einfügen und Löschen wieder her.

Antwort

D · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

B · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

C, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(G) = 8

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 12, C: 6
C (6): G: 8
G (8): B: 10, D: 10, E: 11
B (10)
D (10): F: 22
E (11)
F (22)

Kürzester Weg

A → C → G
d(G) = 8

Antwort

d(G) = 8

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