Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Eine Funktion führt eine Schleife mit n Iterationen und danach, getrennt davon, eine weitere Schleife mit n Iterationen aus. Welche Zeitkomplexität hat sie?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  2. BJedes Programm irgendwann anhält
  3. CManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  4. DSchleifen vermieden werden sollten
3.DatenstrukturenMittel

Was ist der größtmögliche Füllgrad einer Hashtabelle mit offener Adressierung?

  1. A1
  2. B0,5
  3. C2
  4. DEs gibt kein Maximum
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft hält jeden B-Baum perfekt balanciert?

  1. AJeder Knoten speichert einen Schlüssel
  2. BJeder Knoten hat genau zwei Kinder
  3. CAlle Blätter liegen in derselben Tiefe
  4. DDie Schlüssel werden nur in der Wurzel gespeichert
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 22 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 22
k =
6.GraphentheorieSchwer
1421519101815ABCDEF

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 5 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 5
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DF
  7. 7Kante EF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

n + n = 2n, und konstante Faktoren fallen weg, also ist die Funktion O(n).

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 1

Warum das die Antwort ist

Bei offener Adressierung liegen alle Schlüssel in der Tabelle selbst, daher kann n nicht größer als m sein; bei Separate Chaining kann der Füllgrad über 1 liegen.

Antwort

A · 1
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe

Warum das die Antwort ist

Volle Knoten teilen sich nach oben, und der Baum wird nur höher, wenn sich die Wurzel teilt, daher bleiben alle Blätter immer auf derselben Ebene.

Antwort

C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe
5.Graphentheorie

Antwort: k = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 22 − 12 = 10

Antwort

k = 10
6.Graphentheorie

Antwort: Kante DF

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. EF (1)
2. AC (2)
3. BE (5)
4. CE (10)
5. DF (18)

Kantennummer 5

DF

Antwort

Kante DF

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