Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

  1. AKruskal-Algorithmus
  2. BDijkstra-Algorithmus
  3. CBellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
  4. DTiefensuche (DFS)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. AJedes Problem in P liegt auch in NP
  2. BEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
  3. CNP bedeutet „nicht polynomiell“
  4. DLösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
3.DatenstrukturenMittel

Bei welchem Verfahren zur Kollisionsauflösung werden kollidierende Schlüssel in einer Liste im selben Bucket gespeichert?

  1. ALineares Sondieren (Linear Probing)
  2. BQuadratisches Sondieren (Quadratic Probing)
  3. CVerkettung (Separate Chaining)
  4. DDoppeltes Hashing (Double Hashing)
4.DatenstrukturenSchwer

Wofür wird die Union-Find-Struktur in Kruskals Algorithmus für minimale Spannbäume verwendet?

  1. AUm die Kanten nach Gewicht zu sortieren
  2. BUm den Startknoten zu wählen
  3. CUm während der Suche die aktuelle Distanz jedes Knotens von der Quelle zu speichern
  4. DUm zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
19241156171220ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

B · Dijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

A · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Verkettung (Separate Chaining)

Warum das die Antwort ist

Beim Chaining gibt es pro Bucket eine verkettete Liste (oder eine andere Struktur); offene Adressierung sucht einen anderen freien Platz in der Tabelle selbst.

Antwort

C · Verkettung (Separate Chaining)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind

Warum das die Antwort ist

Find zeigt, ob beide Endpunkte in derselben Komponente liegen; wenn nicht, wird die Kante hinzugefügt und union verschmilzt die Komponenten.

Antwort

D · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.Graphentheorie

Antwort: L = 4

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Antwort

L = 4

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 53

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BD (2): nehmen
DE (4): nehmen
EF (5): nehmen
GB (6): nehmen
DF (11): überspringen, schließt einen Kreis
GD (12): überspringen, schließt einen Kreis
GC (17): nehmen
AB (19): nehmen

Gesamtgewicht

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 17 + 19 = 53

Antwort

W = 53

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