Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Greedy-Regel liefert beim Aktivitätsauswahlproblem immer eine maximale Anzahl sich nicht überschneidender Aktivitäten?

  1. ADie Aktivität wählen, die am frühesten beginnt
  2. BZuerst die Aktivität mit den wenigsten Überschneidungen wählen, dann mit den verträglichen wiederholen
  3. CDie Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
  4. DZuerst die kürzeste Aktivität wählen
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein neues Problem X NP-schwer ist?

  1. AZeigen, dass X in polynomieller Zeit überprüft werden kann
  2. BZeigen, dass X für kleine Eingaben keinen polynomiellen Algorithmus hat
  3. CX in polynomieller Zeit auf ein bekanntes NP-schweres Problem reduzieren
  4. DEin bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Ein Ringpuffer (Circular Buffer) wird häufig verwendet, um Folgendes zu implementieren:

  1. AEine Graphtraversierung
  2. BEine Warteschlange fester Größe
  3. CEine Hashfunktion
  4. DEinen binären Suchbaum
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  2. BDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  3. CDie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
  4. DPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
14171513512169310ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen

Warum das die Antwort ist

Dass die Wahl des frühesten Endzeitpunkts optimal ist, lässt sich mit einem Austauschargument beweisen; für die anderen Regeln gibt es Gegenbeispiele.

Antwort

C · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Lässt sich ein bekanntes schweres Problem effizient in X umformen, würde ein schneller Algorithmus für X auch das bekannte Problem lösen.

Antwort

D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine Warteschlange fester Größe

Warum das die Antwort ist

Ein Ringpuffer verwendet Head- und Tail-Indizes, die umlaufen, und ermöglicht so enqueue und dequeue in O(1) bei festem Speicher.

Antwort

B · Eine Warteschlange fester Größe
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

A, C → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 57

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GD (3): nehmen
CE (5): nehmen
GB (9): nehmen
GE (10): nehmen
DE (12): überspringen, schließt einen Kreis
BD (13): überspringen, schließt einen Kreis
AB (14): nehmen
BC (15): überspringen, schließt einen Kreis
DF (16): nehmen

Gesamtgewicht

W = 3 + 5 + 9 + 10 + 14 + 16 = 57

Antwort

W = 57

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