Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Bottom-up-Tabelle?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Auswahl des k-kleinsten Elements eines unsortierten Arrays ist richtig?

  1. ADie Auswahl braucht immer Ω(n log n), weil sie Sortieren erfordert
  2. BQuickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
  3. CQuickselect läuft im Worst Case in O(log n), weil es nur auf einer Seite des Pivots rekursiv weitermacht
  4. DDie Auswahl ist nur in O(n²) möglich
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. ADie Heap-Speicher-Queue
  2. BEinen binären Suchbaum der Frames
  3. CEine Hashtabelle der Funktionen
  4. DDen Aufrufstack (Call Stack)
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Datenstruktur ermöglicht einen LRU-Cache (least recently used) mit get und put in O(1)?

  1. AEine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
  2. BEin einzelnes sortiertes Array
  3. CNur ein Stack
  4. DNur ein binärer Suchbaum
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei A? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Das Füllen der Tabelle von 0 bis n kostet eine Addition pro Eintrag, also ist der Aufwand linear statt exponentiell.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case

Warum das die Antwort ist

Der erwartete Aufwand von Quickselect ist mit zufälligen Pivots n + n/2 + n/4 + ... = O(n); wählt man das Pivot als Median der Mediane, wird der Worst Case linear.

Antwort

B · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

D · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Die Hashmap findet Knoten in O(1), und die doppelt verkettete Liste verschiebt zugegriffene Elemente nach vorne und entfernt hinten in O(1).

Antwort

A · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

C, D → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

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