Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ist es richtig zu sagen, dass ein O(n²)-Algorithmus auch O(n³) ist?

  1. AJa, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
  2. BNein, denn n³ ist für große n kleiner als n²
  3. CNein, denn Groß-O muss stets die genaue Wachstumsrate der Funktion angeben
  4. DJa, aber nur wenn n kleiner als 100 ist
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie wird das Problem des Handlungsreisenden (TSP) eingeordnet?

  1. AEs liegt in P, weil der Dijkstra-Algorithmus es löst, indem er jede Stadt einmal besucht
  2. BEs ist unentscheidbar
  3. CDie Entscheidungsversion liegt in P, aber die Optimierungsversion ist NP-vollständig
  4. DDie Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.DatenstrukturenMittel

Bei welchem Verfahren zur Kollisionsauflösung werden kollidierende Schlüssel in einer Liste im selben Bucket gespeichert?

  1. AVerkettung (Separate Chaining)
  2. BLineares Sondieren (Linear Probing)
  3. CQuadratisches Sondieren (Quadratic Probing)
  4. DDoppeltes Hashing (Double Hashing)
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  2. BDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  3. CDie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
  4. DPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
4913324714ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³

Warum das die Antwort ist

Groß-O ist eine obere Schranke, also ist die Aussage wahr, aber nicht scharf; Θ(n²) gibt die genaue Wachstumsrate an.

Antwort

A · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer

Warum das die Antwort ist

„Gibt es eine Rundreise der Länge höchstens k?" ist NP-vollständig; die kürzeste Rundreise zu finden ist NP-schwer, da es mindestens ebenso schwer ist.

Antwort

D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Verkettung (Separate Chaining)

Warum das die Antwort ist

Beim Chaining gibt es pro Bucket eine verkettete Liste (oder eine andere Struktur); offene Adressierung sucht einen anderen freien Platz in der Tabelle selbst.

Antwort

A · Verkettung (Separate Chaining)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 4, C: 9
2. B (4): D: 7
3. D (7): E: 11, F: 14
4. C (9)
5. E (11)
6. F (14)

Runde 5

E

Antwort

E

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