Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wird die Basis eines Logarithmus in der Groß-O-Notation meist weggelassen, wie in O(log n)?

  1. ADie Basis spielt nur für kleine n eine Rolle
  2. BLogarithmen werden immer auf ganze Zahlen gerundet
  3. CAlle Logarithmen in der Informatik haben die Basis 10, die Basis ist also implizit
  4. DLogarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. ASchleifen vermieden werden sollten
  2. BManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  3. CJedes Programm irgendwann anhält
  4. DKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird ein neues Element in einen binären Heap eingefügt?

  1. AIn die Wurzel setzen und nach unten wandern lassen
  2. BAns Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
  3. CDen ganzen Heap von Grund auf neu aufbauen
  4. DAn der sortierten Position einfügen, indem alle größeren Elemente um eine Stelle nach rechts verschoben werden
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Aussage über Heapsort ist richtig?

  1. AEr sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil
  2. BEr braucht einen binären Suchbaum als zusätzlichen Speicher und verbraucht daher O(n) zusätzlichen Speicher
  3. CEr ist stabil und braucht O(n) zusätzlichen Speicher
  4. DEr läuft bei jeder Eingabe in O(n)
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K7? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K7
H =
6.GraphentheorieSchwer
766411728ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor

Warum das die Antwort ist

Ein Basiswechsel multipliziert den Logarithmus mit einer Konstante, und Groß-O ignoriert konstante Faktoren.

Antwort

D · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

D · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt

Warum das die Antwort ist

Das Hinzufügen am Ende hält den Baum vollständig; das Vertauschen mit dem Elternknoten stellt die Ordnung in O(log n) Schritten wieder her.

Antwort

B · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Er sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil

Warum das die Antwort ist

Heapsort baut einen Max-Heap und entnimmt n-mal das Maximum innerhalb desselben Arrays; Vertauschungen über große Abstände können gleiche Schlüssel umordnen.

Antwort

A · Er sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil
5.Graphentheorie

Antwort: H = 360

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwort

H = 360
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 13

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 7
C (7): B: 13, E: 11
E (11): D: 22, F: 13
B (13): D: 19
F (13)
D (19)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 13

Antwort

d(F) = 13

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