Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Zeitkomplexität des naiven rekursiven Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) ist:

  1. AExponentiell
  2. BLogarithmisch
  3. CKonstant
  4. DLinear
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse NP ist richtig?

  1. AProbleme, die nicht in polynomieller Zeit gelöst werden können
  2. BProbleme, die nicht polynomiell sind
  3. CEntscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
  4. DProbleme, die kein Algorithmus lösen kann
3.DatenstrukturenMittel

Was passiert, wenn eine Hashtabelle nach Überschreiten eines Füllgrad-Schwellenwerts ein Rehashing durchführt?

  1. ADie vorhandenen Schlüssel werden an Ort und Stelle sortiert
  2. BDie ältesten Schlüssel werden gelöscht, um Platz zu schaffen
  3. CNur die kollidierenden Schlüssel kommen in eine neue Überlaufliste am Ende der Tabelle
  4. DEine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Regel müssen Hash und Gleichheit befolgen, damit eine Hashtabelle korrekt funktioniert?

  1. AGleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
  2. BGleiche Hashwerte bedeuten gleiche Schlüssel
  3. CVerschiedene Schlüssel müssen verschiedene Hashwerte haben
  4. DHashwerte müssen Primzahlen sein
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
111576124949ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Exponentiell

Warum das die Antwort ist

Der Aufrufbaum wächst ungefähr wie φⁿ (etwa 1,618ⁿ). Memoisation reduziert dies auf O(n).

Antwort

A · Exponentiell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können

Warum das die Antwort ist

Bei einem NP-Problem lässt sich eine vorgeschlagene Lösung (Zertifikat) schnell prüfen, etwa ob eine gegebene Belegung eine boolesche Formel erfüllt.

Antwort

C · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

Warum das die Antwort ist

Da der Index modulo der Tabellengröße berechnet wird, müssen alle Schlüssel in die neue, größere Tabelle neu gehasht werden; bei Verdopplung bleibt das amortisiert O(1).

Antwort

D · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben

Warum das die Antwort ist

Würden zwei gleiche Schlüssel unterschiedlich gehasht, lägen sie in verschiedenen Buckets und Suchen würden fehlschlagen; ungleiche Schlüssel dürfen sich trotzdem einen Hash teilen.

Antwort

A · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 24

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 11, C: 15
B (11): D: 17, E: 20
C (15)
D (17): F: 26
E (20): F: 24
F (24)

Kürzester Weg

A → B → E → F
d(F) = 24

Antwort

d(F) = 24

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