Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat Quicksort im Worst Case?

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n)
DO(n²)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Kürzeste einfache Wege lassen sich in polynomieller Zeit finden. Was ist über das Finden des längsten einfachen Weges zwischen zwei Knoten in einem allgemeinen Graphen bekannt?

AEs ist unentscheidbar
BEs lässt sich mit dem Dijkstra-Algorithmus und negierten Gewichten lösen
CEs ist NP-schwer
DEs ist immer in O(V + E) lösbar

3.DatenstrukturenMittel

Was passiert, wenn eine Hashtabelle nach Überschreiten eines Füllgrad-Schwellenwerts ein Rehashing durchführt?

ADie ältesten Schlüssel werden gelöscht, um Platz zu schaffen
BEine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
CNur die kollidierenden Schlüssel kommen in eine neue Überlaufliste am Ende der Tabelle
DDie vorhandenen Schlüssel werden an Ort und Stelle sortiert

4.DatenstrukturenSchwer

Die Union-Find-Struktur (Disjoint Set) mit Union by Rank und Pfadkompression hat amortisierte Kosten pro Operation von:

AGenau O(log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F

d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Bei durchgehend schlechten Pivots (z. B. bereits sortierte Eingabe und das erste Element als Pivot) sind die Partitionen unausgeglichen, was O(n²) ergibt. Der Average Case ist O(n log n).

Antwort

D · O(n²)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Es ist NP-schwer

Warum das die Antwort ist

Ein längster einfacher Weg der Länge V − 1 ist ein Hamiltonpfad, ein NP-vollständiges Problem; auf gerichteten azyklischen Graphen ist es dagegen in linearer Zeit lösbar.

Antwort

C · Es ist NP-schwer

3.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

Warum das die Antwort ist

Da der Index modulo der Tabellengröße berechnet wird, müssen alle Schlüssel in die neue, größere Tabelle neu gehasht werden; bei Verdopplung bleibt das amortisiert O(1).

Antwort

B · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

4.Datenstrukturen

Antwort: D · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

Warum das die Antwort ist

Mit beiden Optimierungen benötigen Operationen amortisiert O(α(n)) Zeit; α(n) ≤ 4 für jedes realistische n.

Antwort

D · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

B, C → 2

Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 17

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 1, C: 15

B (1): C: 14, D: 12, E: 9

E (9): D: 10, F: 17

D (10)

C (14)

F (17)

Kürzester Weg

A → B → E → F

d(F) = 17

Antwort

d(F) = 17

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