Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Rekurrenz T(n) = 2T(n/2) + O(n) hat die Lösung:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum erreicht die binäre Suche auf einer einfach verketteten Liste keine Laufzeit von O(log n)?

  1. AVergleiche auf Knoten verketteter Listen sind langsamer
  2. BDas Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
  3. CVerkettete Listen können nicht sortiert werden
  4. DDie binäre Suche braucht mindestens doppelt so viel Speicher
3.DatenstrukturenMittel

Ein Trie (Präfixbaum) ist besonders effizient für:

  1. ADas Finden kürzester Wege
  2. BPräfixsuchen wie Autovervollständigung
  3. CDas Speichern von Matrizen
  4. DDas Sortieren von Zahlen
4.DatenstrukturenSchwer

Die Schlüssel 5, 3, 8, 1 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren, arraybasierten binären Min-Heap eingefügt. Wie sieht das Array am Ende aus?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von D nach A? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem (a = 2, b = 2, f(n) = n) gilt T(n) = Θ(n log n).

Antwort

A · O(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt

Warum das die Antwort ist

Die binäre Suche braucht O(1)-Zugriff auf die Mitte; in einer verketteten Liste kostet der Weg dorthin lineare Zeit, sodass die Gesamtlaufzeit O(n) ist.

Antwort

B · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Präfixsuchen wie Autovervollständigung

Warum das die Antwort ist

Tries speichern Zeichenketten Zeichen für Zeichen entlang von Pfaden, daher dauern Suchen und Präfixabfragen proportional zur Schlüssellänge.

Antwort

B · Präfixsuchen wie Autovervollständigung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · [1, 3, 8, 5]

Warum das die Antwort ist

Nach 5, 3, 8 ist das Array [3, 5, 8]; 1 kommt an Index 3, wird mit seinem Elternknoten 5 und dann mit 3 vertauscht, das ergibt [1, 3, 8, 5].

Antwort

C · [1, 3, 8, 5]
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

A, B, E, F → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)DA = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 + 1·0 = 1

Antwort

N = 1

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