Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Technik liefert für Quicksort bei jeder Eingabe eine erwartete Laufzeit von O(n log n)?

  1. ADie Eingabe vor dem Quicksort sortieren
  2. BRekursion nur auf der linken Seite verwenden
  3. CDen Pivot gleichverteilt zufällig wählen
  4. DImmer das erste Element wählen
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AEr hält die Liste sortiert
  2. BEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
  3. CUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
  4. DEr speichert die Anzahl der Elemente
4.DatenstrukturenSchwer

Ein AVL-Knoten ist unbalanciert, weil der rechte Teilbaum seines linken Kindes zu hoch wurde (Links-rechts-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  2. BEine Rechtsrotation am linken Kind, dann eine Linksrotation am Knoten
  3. CEine einfache Rechtsrotation am Knoten
  4. DEine einfache Linksrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 15 Knoten und 17 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 15|E| = 17
k =
6.GraphentheorieSchwer
19206171612510ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der Aufwand summiert sich auf etwa n² / 2; das ist die Rekursionsgleichung von Selectionsort oder von Quicksort mit dem schlechtesten Pivot.

Antwort

D · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Den Pivot gleichverteilt zufällig wählen

Warum das die Antwort ist

Mit einem zufälligen Pivot beträgt die erwartete Laufzeit für jede Eingabe O(n log n); schlechte Fälle gibt es weiterhin, sie sind aber sehr unwahrscheinlich.

Antwort

C · Den Pivot gleichverteilt zufällig wählen
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

B · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten

Warum das die Antwort ist

Die erste Rotation verwandelt den Links-rechts-Fall in einen Links-links-Fall, den dann eine Rechtsrotation am unbalancierten Knoten behebt.

Antwort

A · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

15 − 1 = 14

Zu entfernende Kanten

k = 17 − 14 = 3

Antwort

k = 3
6.Graphentheorie

Antwort: W = 52

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

EF (5): nehmen
BC (6): nehmen
BE (10): nehmen
DF (12): nehmen
DE (16): überspringen, schließt einen Kreis
CE (17): überspringen, schließt einen Kreis
AB (19): nehmen

Gesamtgewicht

W = 5 + 6 + 10 + 12 + 19 = 52

Antwort

W = 52

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