Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ein Greedy-Algorithmus:

  1. ATrifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
  2. BVerwendet ausschließlich Rekursion
  3. CLiefert immer die optimale Lösung
  4. DProbiert jede mögliche Lösung aus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Insertionsort läuft bei sortierter Eingabe in O(n). Widerspricht das der unteren Schranke Ω(n log n) für vergleichsbasiertes Sortieren?

  1. AJa, aber nur für Arrays mit weniger als 100 Elementen
  2. BNein, weil Insertionsort kein vergleichsbasiertes Sortierverfahren ist
  3. CNein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
  4. DJa, die untere Schranke ist also falsch
3.DatenstrukturenMittel

Ein Binärbaum hat die Wurzel 1 mit linkem Kind 2 und rechtem Kind 3; Knoten 2 hat die Kinder 4 (links) und 5 (rechts). Wie lautet die Pre-Order-Traversierung?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
4.DatenstrukturenSchwer

Ein dynamisches Array verdoppelt sich, wenn es voll ist. Warum verkleinern es viele Implementierungen erst, wenn es zu einem Viertel gefüllt ist, und nicht schon bei halber Füllung?

  1. AWeil der Speicherverwalter Speicher nur in Vierteln eines Blocks freigeben kann
  2. BUm wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
  3. CUm das Array sortiert zu halten
  4. DWeil Halbieren bei halber Füllung Elemente verlieren würde
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K7? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K7
H =
6.GraphentheorieSchwer
126663810115ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 3 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl

Warum das die Antwort ist

Greedy-Algorithmen sind schnell und für manche Probleme optimal (z. B. Dijkstra, Huffman-Codierung), aber nicht im Allgemeinen (z. B. Wechselgeldproblem bei manchen Münzsystemen).

Antwort

A · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe

Warum das die Antwort ist

Die Schranke besagt, dass jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren bei irgendeiner Eingabe der Größe n etwa n log n Vergleiche braucht; spezielle Eingaben können viel schneller sein.

Antwort

C · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 1 2 4 5 3

Warum das die Antwort ist

Pre-Order besucht 1, dann seinen linken Teilbaum (2, 4, 5), dann 3; die anderen Optionen sind In-Order, Post-Order und Level-Order.

Antwort

B · 1 2 4 5 3
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln

Warum das die Antwort ist

Verkleinern bei halber Füllung könnte in einer solchen Folge bei jeder Operation ein Umdimensionieren auslösen; der Abstand zwischen 1/4 und voll hält die amortisierten Kosten bei O(1).

Antwort

B · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
5.Graphentheorie

Antwort: H = 360

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwort

H = 360
6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 12, C: 6
2. C (6): E: 9
3. E (9): D: 17, F: 20
4. B (12)
5. D (17): G: 22
6. F (20)
7. G (22)

Runde 3

E

Antwort

E

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