Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie baut der Algorithmus von Prim einen minimalen Spannbaum auf?

  1. AEr entfernt die teuerste Kante, bis keine Kreise mehr übrig sind
  2. BEr lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
  3. CEr führt eine Breitensuche aus und behält den BFS-Baum
  4. DEr sortiert alle Kanten nach Gewicht und fügt jede hinzu, sofern sie im Wald keinen Kreis bildet
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie wird das Problem des Handlungsreisenden (TSP) eingeordnet?

  1. AEs ist unentscheidbar
  2. BEs liegt in P, weil der Dijkstra-Algorithmus es löst, indem er jede Stadt einmal besucht
  3. CDie Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
  4. DDie Entscheidungsversion liegt in P, aber die Optimierungsversion ist NP-vollständig
3.DatenstrukturenMittel

Welche Balancebedingung hält ein AVL-Baum an jedem Knoten ein?

  1. ADie Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
  2. BBeide Teilbäume jedes Knotens enthalten genau gleich viele Knoten
  3. CJeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt
  4. DAlle Blätter liegen in genau derselben Tiefe
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. AGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
  2. BErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  3. CSie speichert Schlüssel ungeordnet
  4. DSie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
15179310618ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten C. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt.

Start: Ck = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt

Warum das die Antwort ist

Der Algorithmus von Prim läuft mit einer Prioritätswarteschlange der kreuzenden Kanten bei einem binären Heap in O(E log V).

Antwort

B · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer

Warum das die Antwort ist

„Gibt es eine Rundreise der Länge höchstens k?" ist NP-vollständig; die kürzeste Rundreise zu finden ist NP-schwer, da es mindestens ebenso schwer ist.

Antwort

C · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

Warum das die Antwort ist

Der Balancefaktor (Höhe links − Höhe rechts) muss −1, 0 oder 1 sein; Rotationen stellen ihn nach Einfügen und Löschen wieder her.

Antwort

A · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: L = 11

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Antwort

L = 11

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante DE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. BC (9)
2. BD (3)
3. DE (6)
4. AB (15)

Kantennummer 3

DE

Antwort

Kante DE

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