Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Quicksort verwendet immer das erste Element als Pivot. Bei welcher Eingabe zeigt es sein Worst-Case-Verhalten?

  1. ABei einem Array der Länge 2
  2. BBei einem bereits sortierten Array
  3. CBei einem Array in zufälliger Reihenfolge
  4. DBei einem Array, dessen Elemente alle verschieden sind
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein neues Problem X NP-schwer ist?

  1. AZeigen, dass X in polynomieller Zeit überprüft werden kann
  2. BEin bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
  3. CZeigen, dass X für kleine Eingaben keinen polynomiellen Algorithmus hat
  4. DX in polynomieller Zeit auf ein bekanntes NP-schweres Problem reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Eine Anwendung braucht schnelle Suchen, muss aber auch Schlüssel sortiert auflisten und Bereichsabfragen beantworten. Welche Struktur passt am besten?

  1. AEin Stack
  2. BEine Hashtabelle
  3. CEin balancierter binärer Suchbaum
  4. DEine unsortierte verkettete Liste
4.DatenstrukturenSchwer

Durch das Einfügen eines Schlüssels in einen AVL-Baum wird der linke Teilbaum eines Knotens zu hoch, und der neue Schlüssel landete im linken Teilbaum seines linken Kindes (Links-links-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine Linksrotation am Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  2. BUmfärben des Knotens und seines Kindes
  3. CEine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
  4. DEine einfache Linksrotation am unbalancierten Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 15 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 3 führen von B nach F? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Bei einem bereits sortierten Array

Warum das die Antwort ist

Bei sortierter Eingabe ist das Pivot immer das Minimum, sodass eine Seite leer ist und die andere n − 1 Elemente hat; das ergibt O(n²).

Antwort

B · Bei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Lässt sich ein bekanntes schweres Problem effizient in X umformen, würde ein schneller Algorithmus für X auch das bekannte Problem lösen.

Antwort

B · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein balancierter binärer Suchbaum

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter BST bietet Suchen in O(log n) und hält die Schlüssel geordnet, sodass In-Order-Traversierung und Bereichsabfragen einfach sind; eine Hashtabelle verstreut die Schlüssel.

Antwort

C · Ein balancierter binärer Suchbaum
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten

Warum das die Antwort ist

Im Links-links-Fall hebt eine Rechtsrotation das linke Kind nach oben und stellt die Balance wieder her; Zickzack-Fälle brauchen eine Doppelrotation.

Antwort

C · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 15 − 12 = 3

Antwort

k = 3
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Ein weiterer Schritt

(M³)BF = 1·0 + 4·0 + 2·0 + 1·1 + 2·0 + 1·0 = 1

Antwort

N = 1

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