Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Aussage über eine rekursive Funktion ohne erreichbaren Basisfall ist richtig?

ASie gibt automatisch 0 zurück
BSie läuft in O(1) Zeit
CDer Compiler wandelt sie immer in eine Schleife um, die sicher endet
DSie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Klein-o-Notation ist richtig?

An = o(n), da jede Funktion Klein-o von sich selbst ist
Bn = o(n²), aber n ist nicht o(n)
C2n = o(n), weil 2n langsam wächst
Dn² = o(n)

3.DatenstrukturenMittel

Was kostet das Einfügen eines Elements in der Mitte eines Arrays mit n Elementen?

AO(log n), wegen der binären Suche
BO(1), weil der Index bekannt ist
CO(n²), weil jedes Element n-mal verschoben wird
DO(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

4.DatenstrukturenSchwer

Warum könnte ein Server seine Hashfunktion zufällig aus einer universellen Familie wählen?

ADamit die Hashtabelle sortiert ist
BUm zu garantieren, dass nie zwei Schlüssel kollidieren, welche Schlüssel ein Angreifer auch sendet
CDamit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
DDamit die Tabelle nicht mehr vergrößert werden muss

5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 43 × deg 53 × deg 2

L =

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F

d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

Warum das die Antwort ist

Ohne Basisfall endet die Rekursion nie; in der Praxis geht der Speicher für die Stackframes aus, und das Programm stürzt ab.

Antwort

D · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · n = o(n²), aber n ist nicht o(n)

Warum das die Antwort ist

f = o(g) bedeutet, dass f(n) / g(n) gegen 0 strebt; n / n² strebt gegen 0, aber n / n = 1 nicht.

Antwort

B · n = o(n²), aber n ist nicht o(n)

3.Datenstrukturen

Antwort: D · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente nach der Einfügestelle rücken um eine Position nach rechts, was Zeit proportional zu n kostet.

Antwort

D · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

4.Datenstrukturen

Antwort: C · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren

Warum das die Antwort ist

Beim universellen Hashing ist die erwartete Anzahl von Kollisionen für jede Schlüsselmenge klein, da der Angreifer nicht weiß, welche Funktion gewählt wurde.

Antwort

C · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren

5.Graphentheorie

Antwort: L = 15

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 29 = 2(L + 8) − 2

L = 15

Antwort

L = 15

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 18

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 6, C: 13

B (6): C: 9, D: 13, G: 7

G (7): E: 9

C (9)

E (9): D: 11, F: 18

D (11)

F (18)

Kürzester Weg

A → B → G → E → F

d(F) = 18

Antwort

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms