Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Ebenen hat die Rekursion von Mergesort bei einem Array mit n Elementen?

  1. AEtwa log₂ n
  2. BEtwa n
  3. CEtwa n / 2
  4. DEtwa √n
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche zwei Dinge müssen gezeigt werden, um zu beweisen, dass ein Entscheidungsproblem X NP-vollständig ist?

  1. AX liegt in P, und X lässt sich auf SAT reduzieren
  2. BX hat keinen polynomiellen Algorithmus, und X ist entscheidbar
  3. CX lässt sich auf ein Problem in P reduzieren, und X liegt in NP
  4. DX liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Ein Ringpuffer (Circular Buffer) wird häufig verwendet, um Folgendes zu implementieren:

  1. AEinen binären Suchbaum
  2. BEine Hashfunktion
  3. CEine Graphtraversierung
  4. DEine Warteschlange fester Größe
4.DatenstrukturenSchwer

Du willst für jedes Element eines Arrays das nächstgrößere Element rechts davon finden, insgesamt in O(n). Welche Struktur hilft?

  1. AEine Queue, die jedes Elementpaar enthält
  2. BEin binärer Suchbaum, der für jedes Element neu aufgebaut wird
  3. CEine Hashtabelle aller Elemente
  4. DEin Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
61135172018101ABCDEFG

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten G. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt.

Start: Gk = 2
  1. 1Kante AC
  2. 2Kante BC
  3. 3Kante BD
  4. 4Kante CE
  5. 5Kante DF
  6. 6Kante EF
  7. 7Kante GB
  8. 8Kante GD
  9. 9Kante GE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Etwa log₂ n

Warum das die Antwort ist

Das Halbieren von n bis auf 1 dauert etwa log₂ n Ebenen, und jede Ebene leistet O(n) Merge-Aufwand, das ergibt O(n log n).

Antwort

A · Etwa log₂ n
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Die Zugehörigkeit zu NP zeigt, dass X nicht schwerer als NP ist; die Reduktion von einem bekannten NP-vollständigen Problem zeigt, dass X mindestens so schwer ist wie ganz NP.

Antwort

D · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Warteschlange fester Größe

Warum das die Antwort ist

Ein Ringpuffer verwendet Head- und Tail-Indizes, die umlaufen, und ermöglicht so enqueue und dequeue in O(1) bei festem Speicher.

Antwort

D · Eine Warteschlange fester Größe
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten

Warum das die Antwort ist

Beim Durchlauf von links nach rechts entnimmst du jedes gestapelte Element, das kleiner als das aktuelle ist (das aktuelle Element ist seine Antwort), und legst dann das aktuelle ab; jedes Element bewegt sich höchstens zweimal.

Antwort

D · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. GE (1)
2. CE (5)
3. AC (6)
4. GD (10)
5. BD (3)
6. DF (17)

Kantennummer 2

CE

Antwort

Kante CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms