Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Insertionsort läuft bei sortierter Eingabe in O(n). Widerspricht das der unteren Schranke Ω(n log n) für vergleichsbasiertes Sortieren?

  1. AJa, aber nur für Arrays mit weniger als 100 Elementen
  2. BJa, die untere Schranke ist also falsch
  3. CNein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
  4. DNein, weil Insertionsort kein vergleichsbasiertes Sortierverfahren ist
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert die Suche nach einem Wort der Länge L in einem Trie mit festem Alphabet?

  1. AO(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
  2. BO(log n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
  3. CO(n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
  4. DO(L × n)
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Segmentbaum (Segment Tree) wird typischerweise verwendet, um:

  1. AZeichenketten alphabetisch zu sortieren, indem jedes Präfix in einem eigenen Baumknoten gespeichert wird
  2. BDie Kanten eines Graphen zu speichern
  3. CEinen Stack zu implementieren
  4. DBereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 53 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
71451510755107ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe

Warum das die Antwort ist

Die Schranke besagt, dass jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren bei irgendeiner Eingabe der Größe n etwa n log n Vergleiche braucht; spezielle Eingaben können viel schneller sein.

Antwort

C · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind

Warum das die Antwort ist

Jedes Zeichen wählt ein Kind aus, daher braucht eine Suche L Schritte, egal wie viele Wörter der Trie enthält.

Antwort

A · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten

Warum das die Antwort ist

Ein Segmentbaum speichert Aggregate für Intervalle und unterstützt Bereichsabfragen und Punktaktualisierungen in O(log n) Zeit.

Antwort

D · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
5.Graphentheorie

Antwort: L = 11

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Antwort

L = 11

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 19

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 7
B (7): C: 21, D: 12
D (12): E: 22, F: 19, G: 22
F (19)
C (21)
E (22)
G (22)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 19

Antwort

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms