Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ein Greedy-Algorithmus:

  1. AVerwendet ausschließlich Rekursion
  2. BTrifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
  3. CProbiert jede mögliche Lösung aus
  4. DLiefert immer die optimale Lösung
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. AJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
  2. BDas Halteproblem würde entscheidbar
  3. CAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  4. DNur dieses eine Problem würde nach P wandern
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird ein neues Element in einen binären Heap eingefügt?

  1. ADen ganzen Heap von Grund auf neu aufbauen
  2. BAn der sortierten Position einfügen, indem alle größeren Elemente um eine Stelle nach rechts verschoben werden
  3. CAns Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
  4. DIn die Wurzel setzen und nach unten wandern lassen
4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

  1. ABits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
  2. BBloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können
  3. CLöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
  4. DDiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K6? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K6
H =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 3 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl

Warum das die Antwort ist

Greedy-Algorithmen sind schnell und für manche Probleme optimal (z. B. Dijkstra, Huffman-Codierung), aber nicht im Allgemeinen (z. B. Wechselgeldproblem bei manchen Münzsystemen).

Antwort

B · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

A · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt

Warum das die Antwort ist

Das Hinzufügen am Ende hält den Baum vollständig; das Vertauschen mit dem Elternknoten stellt die Ordnung in O(log n) Schritten wieder her.

Antwort

C · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

D · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60
6.Graphentheorie

Antwort: N = 4

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)BB = 1·1 + 3·0 + 2·1 + 1·0 + 1·1 = 4

Antwort

N = 4

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