Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche amortisierte Zeitkomplexität hat das Anhängen an ein dynamisches Array, das seine Kapazität verdoppelt, wenn es voll ist?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nach dem Master-Theorem hat T(n) = 8T(n/2) + O(n²) die Lösung:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.DatenstrukturenMittel

Du hast eine Referenz auf einen Knoten in der Mitte einer Liste. In welcher Liste kannst du ihn in O(1) entfernen?

  1. AIn einem sortierten Array
  2. BIn einer einfach verketteten Liste
  3. CIn einer doppelt verketteten Liste
  4. DIn einem dynamischen Array
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Operationen unterstützt ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree) über einem Array von n Zahlen in O(log n)?

  1. AEinfügen von Elementen an beliebiger Position
  2. BPräfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
  3. CFinden des Medians in O(1)
  4. DSortieren des Arrays und binäre Suche
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 34 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
11141171259ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(1)

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente werden nur bei Zweierpotenzen kopiert; verteilt auf alle Anhängeoperationen sind die durchschnittlichen Kosten pro Operation konstant.

Antwort

D · O(1)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(n³)

Warum das die Antwort ist

log₂ 8 = 3, und n² wächst langsamer als n³, daher dominieren die Blätter: Θ(n³).

Antwort

C · Θ(n³)
3.Datenstrukturen

Antwort: C · In einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Ein doppelt verketteter Knoten kennt seinen Vorgänger, daher kannst du prev und next direkt neu verbinden; eine einfach verkettete Liste muss den Vorgänger erst suchen.

Antwort

C · In einer doppelt verketteten Liste
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

Warum das die Antwort ist

Ein Fenwick-Baum speichert Teilsummen über Bereiche, die durch die niedrigen Bits jedes Index bestimmt werden, daher kosten Präfixsummen und Punktaktualisierungen jeweils O(log n).

Antwort

B · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
5.Graphentheorie

Antwort: L = 4

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 14 = 2(L + 6) − 2
L = 4

Antwort

L = 4

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: C

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 11
2. B (11): C: 25, D: 12, E: 20
3. D (12): E: 19, F: 24
4. E (19): C: 20
5. C (20)
6. F (24)

Runde 5

C

Antwort

C

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