Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Quicksort verwendet immer das erste Element als Pivot. Bei welcher Eingabe zeigt es sein Worst-Case-Verhalten?

  1. ABei einem Array, dessen Elemente alle verschieden sind
  2. BBei einem Array in zufälliger Reihenfolge
  3. CBei einem Array der Länge 2
  4. DBei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welcher Algorithmus findet einen minimalen Spannbaum, indem er wiederholt die günstigste Kante hinzufügt, die keinen Zyklus bildet?

  1. ADijkstra-Algorithmus
  2. BFloyd-Warshall
  3. CKruskal-Algorithmus
  4. DPrim-Algorithmus, ausgehend von einem Knoten
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur verwendet die Tiefensuche (DFS) in der iterativen Variante?

  1. AEinen Stack
  2. BEinen Heap
  3. CEine Queue
  4. DNur eine Hashtabelle
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft muss ein Rot-Schwarz-Baum erfüllen?

  1. ADie Wurzel muss rot sein
  2. BRote Knoten müssen rote Kindknoten haben, sodass rote Knoten immer ununterbrochene Ketten bis zu den Blättern bilden
  3. CJeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
  4. DJeder Knoten muss rot sein
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K8? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K8
H =
6.GraphentheorieSchwer
192031611911014ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Bei einem bereits sortierten Array

Warum das die Antwort ist

Bei sortierter Eingabe ist das Pivot immer das Minimum, sodass eine Seite leer ist und die andere n − 1 Elemente hat; das ergibt O(n²).

Antwort

D · Bei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kruskal-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Kruskal sortiert die Kanten nach Gewicht und fügt sie hinzu, wenn sie verschiedene Komponenten verbinden; Prim lässt einen einzigen Baum von einem Startknoten aus wachsen.

Antwort

C · Kruskal-Algorithmus
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Einen Stack

Warum das die Antwort ist

DFS geht so tief wie möglich und nutzt daher natürlicherweise einen Stack (oder den Aufrufstack der Rekursion); BFS verwendet eine Queue.

Antwort

A · Einen Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

Warum das die Antwort ist

Rot-Schwarz-Regeln: Knoten sind rot oder schwarz, die Wurzel ist schwarz, rote Knoten haben schwarze Kinder und alle Pfade haben die gleiche Schwarzhöhe, wodurch die Höhe ≤ 2 log₂(n + 1) bleibt.

Antwort

C · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: H = 2520

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwort

H = 2520
6.Graphentheorie

Antwort: W = 43

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

DF (1): nehmen
BC (3): nehmen
DE (9): nehmen
EF (10): überspringen, schließt einen Kreis
CE (11): nehmen
BE (14): überspringen, schließt einen Kreis
BD (16): überspringen, schließt einen Kreis
AB (19): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 3 + 9 + 11 + 19 = 43

Antwort

W = 43

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