Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Rekurrenz T(n) = 2T(n/2) + O(n) hat die Lösung:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das 0/1-Rucksackproblem benötigt mit dynamischer Programmierung O(nW) Zeit. Warum nennt man das pseudopolynomiell?

  1. AW ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
  2. BWeil er nur für W = 0 funktioniert
  3. CWeil der Algorithmus randomisiert ist und seine Laufzeit je nach Eingabe schwankt
  4. DWeil n immer klein ist
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. ANur die Wurzel ansehen
  2. BVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
  3. CJedes Blatt besuchen und vergleichen
  4. DVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
4.DatenstrukturenSchwer

Ein AVL-Knoten ist unbalanciert, weil der rechte Teilbaum seines linken Kindes zu hoch wurde (Links-rechts-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine einfache Linksrotation am Knoten
  2. BEine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  3. CEine Rechtsrotation am linken Kind, dann eine Linksrotation am Knoten
  4. DEine einfache Rechtsrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem (a = 2, b = 2, f(n) = n) gilt T(n) = Θ(n log n).

Antwort

C · O(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird

Warum das die Antwort ist

Die Laufzeit ist polynomiell im Wert von W, aber exponentiell in dessen Länge (log W Bits); das 0/1-Rucksackproblem ist NP-vollständig.

Antwort

A · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

B · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten

Warum das die Antwort ist

Die erste Rotation verwandelt den Links-rechts-Fall in einen Links-links-Fall, den dann eine Rechtsrotation am unbalancierten Knoten behebt.

Antwort

B · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

A, B, C, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 4

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwort

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms