Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1)-Arbeit?

  1. AO(n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.DatenstrukturenMittel

Du hast eine Referenz auf einen Knoten in der Mitte einer Liste. In welcher Liste kannst du ihn in O(1) entfernen?

  1. AIn einem sortierten Array
  2. BIn einem dynamischen Array
  3. CIn einer einfach verketteten Liste
  4. DIn einer doppelt verketteten Liste
4.DatenstrukturenSchwer

Ein AVL-Knoten ist unbalanciert, weil der rechte Teilbaum seines linken Kindes zu hoch wurde (Links-rechts-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  2. BEine Rechtsrotation am linken Kind, dann eine Linksrotation am Knoten
  3. CEine einfache Linksrotation am Knoten
  4. DEine einfache Rechtsrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 15 Knoten und 21 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 15|E| = 21
k =
6.GraphentheorieSchwer
201745711312ABCDEF

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante BC
  3. 3Kante BD
  4. 4Kante CE
  5. 5Kante DE
  6. 6Kante DF
  7. 7Kante EF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert nlog₂ 2 = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Die Summe ist n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, und die harmonische Zahl Hn ist Θ(log n).

Antwort

D · O(n log n)
3.Datenstrukturen

Antwort: D · In einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Ein doppelt verketteter Knoten kennt seinen Vorgänger, daher kannst du prev und next direkt neu verbinden; eine einfach verkettete Liste muss den Vorgänger erst suchen.

Antwort

D · In einer doppelt verketteten Liste
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten

Warum das die Antwort ist

Die erste Rotation verwandelt den Links-rechts-Fall in einen Links-links-Fall, den dann eine Rechtsrotation am unbalancierten Knoten behebt.

Antwort

A · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 7

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

15 − 1 = 14

Zu entfernende Kanten

k = 21 − 14 = 7

Antwort

k = 7
6.Graphentheorie

Antwort: Kante BD

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. DF (1)
2. BD (4)
3. CE (5)
4. DE (7)
5. AB (20)

Kantennummer 2

BD

Antwort

Kante BD

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