Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum bringt dynamische Programmierung bei Mergesort keine echte Beschleunigung?

  1. AMergesort ist bereits O(n)
  2. BMergesort hat keine rekursive Struktur
  3. CDynamische Programmierung funktioniert nur bei Graphenproblemen, nicht bei Arrays
  4. DSeine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Liegt 22n in O(2ⁿ)?

  1. AJa, denn konstante Faktoren im Exponenten werden in der Groß-O-Notation immer ignoriert
  2. BJa, denn beide sind exponentiell
  3. CNein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
  4. DNein, denn 22n wächst langsamer als 2ⁿ
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. AJedes Blatt besuchen und vergleichen
  2. BVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
  3. CNur die Wurzel ansehen
  4. DVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

  1. ABloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können
  2. BDiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
  3. CBits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
  4. DLöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 34 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
1071297131414ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden

Warum das die Antwort ist

Die Hälften bei Mergesort sind disjunkt und werden jeweils einmal gelöst; DP hilft nur, wenn Teilprobleme wiederkehren, wie bei Fibonacci.

Antwort

D · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

Warum das die Antwort ist

Eine zum Exponenten addierte Konstante ergibt einen konstanten Faktor, aber eine Konstante, die den Exponenten multipliziert, ändert die Basis und die Wachstumsrate.

Antwort

C · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

D · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

B · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.Graphentheorie

Antwort: L = 13

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13

Antwort

L = 13

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 10, C: 7
2. C (7): G: 8
3. G (8): D: 12, E: 22
4. B (10)
5. D (12): E: 21, F: 19
6. F (19)
7. E (21)

Runde 5

D

Antwort

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms