Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

  1. ADijkstra-Algorithmus
  2. BTiefensuche (DFS)
  3. CBellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
  4. DKruskal-Algorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was hat der Satz von Cook und Levin gezeigt?

  1. ADas Halteproblem ist unentscheidbar
  2. BJedes NP-Problem kann in exponentieller Zeit gelöst werden
  3. CDas Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
  4. DP ist ungleich NP
3.DatenstrukturenMittel

Ein Knoten in einem binären Suchbaum hat einen rechten Teilbaum. Wo liegt sein In-Order-Nachfolger?

  1. AAm linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
  2. BImmer bei seinem rechten Kind
  3. CAm rechtesten Knoten seines linken Teilbaums
  4. DImmer bei seinem Elternknoten
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Bloom-Filter kann die Frage „Ist dieses Element in der Menge?“ beantworten mit:

  1. AImmer exakten Antworten
  2. BAntworten nur für Zahlen
  3. CMöglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
  4. DMöglichen falsch-negativen, aber keinen falsch-positiven Ergebnissen
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 6 Knoten und 13 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 6|E| = 13
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei C? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

A · Dijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig

Warum das die Antwort ist

Cook und Levin zeigten unabhängig voneinander, dass sich jedes Problem in NP in polynomieller Zeit auf SAT reduzieren lässt; SAT war damit das erste bekannte NP-vollständige Problem.

Antwort

C · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums

Warum das die Antwort ist

Alle größeren Schlüssel nahe am Knoten liegen in seinem rechten Teilbaum, und der kleinste davon ist dort der linkeste Knoten.

Antwort

A · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen

Warum das die Antwort ist

Ist eines der Bits für ein Element 0, fehlt es definitiv; sind alle 1, ist es wahrscheinlich vorhanden. Bloom-Filter tauschen Genauigkeit gegen sehr wenig Speicher.

Antwort

C · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

6 − 1 = 5

Zu entfernende Kanten

k = 13 − 5 = 8

Antwort

k = 8
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)CC = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

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