Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was berechnet der Floyd-Warshall-Algorithmus, und wie schnell?

  1. AKürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
  2. BEinen minimalen Spannbaum in O(E log V)
  3. CEine topologische Sortierung in O(V²)
  4. DKürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen in O(V + E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse NP ist richtig?

  1. AProbleme, die kein Algorithmus lösen kann
  2. BProbleme, die nicht in polynomieller Zeit gelöst werden können
  3. CProbleme, die nicht polynomiell sind
  4. DEntscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.DatenstrukturenMittel

Eine Anwendung braucht schnelle Suchen, muss aber auch Schlüssel sortiert auflisten und Bereichsabfragen beantworten. Welche Struktur passt am besten?

  1. AEine unsortierte verkettete Liste
  2. BEine Hashtabelle
  3. CEin balancierter binärer Suchbaum
  4. DEin Stack
4.DatenstrukturenSchwer

Mit welcher Struktur lässt sich das Maximum jedes Fensters der Größe k in einem Array insgesamt in O(n) berechnen?

  1. AEine einfach verkettete Liste der Fensterelemente
  2. BEin sortiertes Array, das durch Verschieben aktualisiert wird
  3. CEine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
  4. DEin für jedes Fenster neu aufgebauter Min-Heap
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
12293615225ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)

Warum das die Antwort ist

Floyd-Warshall ist ein Algorithmus der dynamischen Programmierung, der nacheinander jeden Knoten als Zwischenknoten zulässt und O(V³) Zeit braucht.

Antwort

A · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können

Warum das die Antwort ist

Bei einem NP-Problem lässt sich eine vorgeschlagene Lösung (Zertifikat) schnell prüfen, etwa ob eine gegebene Belegung eine boolesche Formel erfüllt.

Antwort

D · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein balancierter binärer Suchbaum

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter BST bietet Suchen in O(log n) und hält die Schlüssel geordnet, sodass In-Order-Traversierung und Bereichsabfragen einfach sind; eine Hashtabelle verstreut die Schlüssel.

Antwort

C · Ein balancierter binärer Suchbaum
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte

Warum das die Antwort ist

Das vordere Ende der Deque ist immer das Maximum des Fensters; jeder Index kommt einmal hinein und einmal heraus, daher ist der Aufwand linear.

Antwort

C · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

A, D → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 10

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 12, C: 2
C (2): B: 11, E: 8
E (8): D: 23, F: 10
F (10): D: 12
B (11)
D (12)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 10

Antwort

d(F) = 10

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