Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Laufzeit hat LSD-Radixsort für n ganze Zahlen mit d Ziffern zur Basis k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn Polynomialzeit lösbar ist
  2. BAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  3. CIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  4. DUnmöglich zu lösen ist
3.DatenstrukturenMittel

Eine In-Order-Traversierung eines binären Suchbaums besucht die Schlüssel in:

  1. AEinfügereihenfolge
  2. BEbenenweiser Reihenfolge (Level-Order)
  3. CImmer absteigender Reihenfolge
  4. DAufsteigend sortierter Reihenfolge
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft muss ein Rot-Schwarz-Baum erfüllen?

  1. ARote Knoten müssen rote Kindknoten haben, sodass rote Knoten immer ununterbrochene Ketten bis zu den Blättern bilden
  2. BJeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
  3. CDie Wurzel muss rot sein
  4. DJeder Knoten muss rot sein
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1315315614348ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(G) des kürzesten Weges von A nach G im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: G
d(G) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(d(n + k))

Warum das die Antwort ist

Jeder der d Durchläufe ist ein Countingsort mit Kosten O(n + k), also ist der Gesamtaufwand bei festen d und k linear in n.

Antwort

A · O(d(n + k))
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

C · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Aufsteigend sortierter Reihenfolge

Warum das die Antwort ist

Wird erst der linke Teilbaum, dann der Knoten und dann der rechte Teilbaum besucht, werden die BST-Schlüssel sortiert ausgegeben.

Antwort

D · Aufsteigend sortierter Reihenfolge
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

Warum das die Antwort ist

Rot-Schwarz-Regeln: Knoten sind rot oder schwarz, die Wurzel ist schwarz, rote Knoten haben schwarze Kinder und alle Pfade haben die gleiche Schwarzhöhe, wodurch die Höhe ≤ 2 log₂(n + 1) bleibt.

Antwort

B · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

A, D, F, G → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: d(G) = 21

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13, C: 15
B (13): D: 28, G: 21
C (15): E: 21
E (21): F: 25
G (21)
F (25)
D (28)

Kürzester Weg

A → B → G
d(G) = 21

Antwort

d(G) = 21

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