Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

  1. ATiefensuche (DFS)
  2. BBellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
  3. CDijkstra-Algorithmus
  4. DKruskal-Algorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. ADas Halteproblem würde entscheidbar
  2. BAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  3. CNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  4. DJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.DatenstrukturenMittel

Was ist der größtmögliche Füllgrad einer Hashtabelle mit offener Adressierung?

  1. A2
  2. B1
  3. C0,5
  4. DEs gibt kein Maximum
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Laufzeit hat die Breitensuche auf einem Graphen mit V Knoten, der als Adjazenzmatrix gespeichert ist?

  1. AO(V²)
  2. BO(V)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1120141859126ABCDEF

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten C. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 4 hinzufügt.

Start: Ck = 4
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante DE
  6. 6Kante DF
  7. 7Kante EF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

C · Dijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 1

Warum das die Antwort ist

Bei offener Adressierung liegen alle Schlüssel in der Tabelle selbst, daher kann n nicht größer als m sein; bei Separate Chaining kann der Füllgrad über 1 liegen.

Antwort

B · 1
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(V²)

Warum das die Antwort ist

Jeder der V Knoten durchsucht eine Zeile mit V Einträgen, das ergibt O(V²); mit Adjazenzlisten ist BFS O(V + E).

Antwort

A · O(V²)
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: Kante DF

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. BC (14)
2. BE (6)
3. DE (5)
4. DF (9)
5. AB (11)

Kantennummer 4

DF

Antwort

Kante DF

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