Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Sortieralgorithmus ist stabil?

  1. ASelectionsort (typische Variante)
  2. BQuicksort (typische In-place-Variante)
  3. CHeapsort
  4. DMergesort
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nimmt man beide Endpunkte jeder Kante eines maximalen Matchings, erhält man eine Knotenüberdeckung. Wie gut ist diese Überdeckung?

  1. AImmer eine minimale Knotenüberdeckung
  2. BHöchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
  3. CHöchstens log n-mal so groß wie das Minimum
  4. DVon unbekannter Güte im Vergleich zum Optimum
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert die Suche nach einem Wort der Länge L in einem Trie mit festem Alphabet?

  1. AO(n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
  2. BO(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
  3. CO(log n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
  4. DO(L × n)
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  2. BDie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  3. CPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
  4. DDie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
7414886141328ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Mergesort

Warum das die Antwort ist

Mergesort ist stabil, wenn beim Zusammenführen bei Gleichheit zuerst aus der linken Hälfte genommen wird. In-place-Quicksort, Heapsort und Selectionsort sind in der Regel nicht stabil.

Antwort

D · Mergesort
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung

Warum das die Antwort ist

Die Matchingkanten haben keine gemeinsamen Knoten, also braucht das Optimum mindestens einen Knoten pro Kante, während diese Methode zwei nimmt: eine 2-Approximation.

Antwort

B · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
3.Datenstrukturen

Antwort: B · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind

Warum das die Antwort ist

Jedes Zeichen wählt ein Kind aus, daher braucht eine Suche L Schritte, egal wie viele Wörter der Trie enthält.

Antwort

B · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

C · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

A, D, E, G → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 30

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 7
C (7): B: 11, G: 20
B (11): D: 25
G (20): D: 22, E: 28
D (22): F: 30
E (28)
F (30)

Kürzester Weg

A → C → G → D → F
d(F) = 30

Antwort

d(F) = 30

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