Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ist es richtig zu sagen, dass ein O(n²)-Algorithmus auch O(n³) ist?

  1. ANein, denn Groß-O muss stets die genaue Wachstumsrate der Funktion angeben
  2. BJa, aber nur wenn n kleiner als 100 ist
  3. CJa, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
  4. DNein, denn n³ ist für große n kleiner als n²
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Bei welcher Variante des Rucksackproblems liefert die Greedy-Regel „Gegenstände nach Wert pro Gewicht nehmen" immer eine optimale Lösung?

  1. ABei keiner der beiden Varianten
  2. BBeim 0/1-Rucksackproblem, bei dem Gegenstände immer ganz genommen werden müssen
  3. CBei beiden Varianten
  4. DBeim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
3.DatenstrukturenMittel

Was kostet das Einfügen eines Elements in der Mitte eines Arrays mit n Elementen?

  1. AO(n²), weil jedes Element n-mal verschoben wird
  2. BO(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
  3. CO(1), weil der Index bekannt ist
  4. DO(log n), wegen der binären Suche
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Paar von Traversierungen bestimmt immer einen eindeutigen Binärbaum mit verschiedenen Schlüsseln?

  1. APre-Order und In-Order
  2. BPre-Order und Post-Order
  3. CPre-Order allein
  4. DLevel-Order allein
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei C? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³

Warum das die Antwort ist

Groß-O ist eine obere Schranke, also ist die Aussage wahr, aber nicht scharf; Θ(n²) gibt die genaue Wachstumsrate an.

Antwort

C · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen

Warum das die Antwort ist

Dürfen Gegenstände geteilt werden, ist das beste Verhältnis zuerst optimal; beim 0/1-Rucksack kann ein Gegenstand mit hohem Verhältnis eine bessere Kombination blockieren, sodass dynamische Programmierung nötig ist.

Antwort

D · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
3.Datenstrukturen

Antwort: B · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente nach der Einfügestelle rücken um eine Position nach rechts, was Zeit proportional zu n kostet.

Antwort

B · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Pre-Order und In-Order

Warum das die Antwort ist

Pre-Order liefert die Wurzel, und ihre Position in der In-Order-Folge trennt linken und rechten Teilbaum; Pre-Order mit Post-Order ist mehrdeutig, wenn ein Knoten nur ein Kind hat.

Antwort

A · Pre-Order und In-Order
5.Graphentheorie

Antwort: L = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Antwort

L = 10

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 3

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Antwort

N = 3

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