Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  2. BNur zufällige Eingaben
  3. CÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
  4. DEine einzige Schleife
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Eine topologische Sortierung ist nur möglich für:

  1. AGraphen mit negativen Gewichten
  2. BUngerichtete Graphen
  3. CGerichtete azyklische Graphen (DAG)
  4. DVollständige Graphen
3.DatenstrukturenMittel

Mit welcher Datenstruktur prüft man, ob die Klammern in "{[()]}" ausgeglichen sind?

  1. AMit einer Queue
  2. BMit einem Stack
  3. CMit einem binären Suchbaum
  4. DMit einer Hashtabelle
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Bloom-Filter kann die Frage „Ist dieses Element in der Menge?“ beantworten mit:

  1. AImmer exakten Antworten
  2. BMöglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
  3. CAntworten nur für Zahlen
  4. DMöglichen falsch-negativen, aber keinen falsch-positiven Ergebnissen
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 22 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 22
k =
6.GraphentheorieSchwer
131199131015101414ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

C · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)

Warum das die Antwort ist

Eine topologische Ordnung existiert genau dann, wenn der gerichtete Graph keine Zyklen hat; sie lässt sich in O(V + E) mit DFS oder dem Kahn-Algorithmus finden.

Antwort

C · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Mit einem Stack

Warum das die Antwort ist

Lege jede öffnende Klammer mit push ab und hole bei einer schließenden Klammer mit pop eine heraus; sie muss zur entnommenen Klammer passen, und am Ende muss der Stack leer sein.

Antwort

B · Mit einem Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen

Warum das die Antwort ist

Ist eines der Bits für ein Element 0, fehlt es definitiv; sind alle 1, ist es wahrscheinlich vorhanden. Bloom-Filter tauschen Genauigkeit gegen sehr wenig Speicher.

Antwort

B · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 22 − 12 = 10

Antwort

k = 10
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 35

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13
B (13): C: 24, D: 22, G: 28
D (22): F: 35
C (24): E: 33
G (28)
E (33)
F (35)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 35

Antwort

d(F) = 35

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