Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AEine einzige Schleife
  2. BNur zufällige Eingaben
  3. CÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
  4. DÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Worin unterscheidet sich ein unentscheidbares Problem von einem praktisch unlösbaren (intractable)?

  1. ABeides bedeutet, dass es für das Problem überhaupt keinen Algorithmus gibt
  2. BEin unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
  3. CPraktisch unlösbare Probleme können von keinem Algorithmus gelöst werden, unentscheidbare brauchen nur exponentielle Zeit
  4. DUnentscheidbare Probleme liegen in NP, praktisch unlösbare in P
3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

  1. A2h+1 − 1
  2. Bh2
  3. C2h
  4. D2h + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Segmentbaum (Segment Tree) wird typischerweise verwendet, um:

  1. ADie Kanten eines Graphen zu speichern
  2. BBereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
  3. CZeichenketten alphabetisch zu sortieren, indem jedes Präfix in einem eigenen Baumknoten gespeichert wird
  4. DEinen Stack zu implementieren
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
201117719926413ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

C · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist

Warum das die Antwort ist

Für das Halteproblem gibt es überhaupt keinen Algorithmus; ein NP-schweres Problem wie das TSP lässt sich per Brute Force lösen, nur nicht in bekannter polynomieller Zeit.

Antwort

B · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 2h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2h ergibt 2h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

A · 2h+1 − 1
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten

Warum das die Antwort ist

Ein Segmentbaum speichert Aggregate für Intervalle und unterstützt Bereichsabfragen und Punktaktualisierungen in O(log n) Zeit.

Antwort

B · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

A, B → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 45

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GB (2): nehmen
GD (4): nehmen
GC (6): nehmen
BD (7): überspringen, schließt einen Kreis
EF (9): nehmen
AC (11): nehmen
GE (13): nehmen

Gesamtgewicht

W = 2 + 4 + 6 + 9 + 11 + 13 = 45

Antwort

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms