Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Eine Funktion führt eine Schleife mit n Iterationen und danach, getrennt davon, eine weitere Schleife mit n Iterationen aus. Welche Zeitkomplexität hat sie?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. ADas Halteproblem würde entscheidbar
  2. BAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  3. CNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  4. DJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.DatenstrukturenMittel

Ein Trie (Präfixbaum) ist besonders effizient für:

  1. APräfixsuchen wie Autovervollständigung
  2. BDas Finden kürzester Wege
  3. CDas Speichern von Matrizen
  4. DDas Sortieren von Zahlen
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft muss ein Rot-Schwarz-Baum erfüllen?

  1. AJeder Knoten muss rot sein
  2. BJeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
  3. CRote Knoten müssen rote Kindknoten haben, sodass rote Knoten immer ununterbrochene Ketten bis zu den Blättern bilden
  4. DDie Wurzel muss rot sein
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K6? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K6
H =
6.GraphentheorieSchwer
412101415921ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

n + n = 2n, und konstante Faktoren fallen weg, also ist die Funktion O(n).

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Präfixsuchen wie Autovervollständigung

Warum das die Antwort ist

Tries speichern Zeichenketten Zeichen für Zeichen entlang von Pfaden, daher dauern Suchen und Präfixabfragen proportional zur Schlüssellänge.

Antwort

A · Präfixsuchen wie Autovervollständigung
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

Warum das die Antwort ist

Rot-Schwarz-Regeln: Knoten sind rot oder schwarz, die Wurzel ist schwarz, rote Knoten haben schwarze Kinder und alle Pfade haben die gleiche Schwarzhöhe, wodurch die Höhe ≤ 2 log₂(n + 1) bleibt.

Antwort

B · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60
6.Graphentheorie

Antwort: F

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 4, C: 12
2. B (4): D: 18, E: 5
3. E (5): F: 7
4. F (7): D: 16
5. C (12)
6. D (16)

Runde 4

F

Antwort

F

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